平面に下ろした垂線の足と四面体の体積(直線と平面の垂直条件)

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平面に下ろした垂線の足」は,\ 「直線と平面の垂直条件」を用いて求める.
「直線と平面の垂直条件」}は,\ 「平面上の任意の2直線と垂直」である.
「1直線と垂直」だけでは「平面と垂直」が保証されない(左下図).
「2直線と垂直」ならば,\ 「平面と垂直」が保証される(右下図). ₀
空間ベクトルの問題では,\ 以下のように考えて条件を立式する.
点Hは平面ABC上にあるから,\ $s,\ t,\ u$を実数とすると
{H}は{「平面{ABC}上にある」かつ「直線{OH}と平面{ABC}が垂直」}の2条件で定まる点である.
まず,\ 点{H}が平面{ABC}上にある条件を実数s,\ t,\ uを用いて立式する.
次に,\ 直線{OHと平面ABC}の垂直条件を立式する.\ 当然,\ ベクトルでは{垂直\ →\ 内積0}である.
これを展開し,,の値を代入後にs+t+u=1と連立する.
内積の値は定義ab=a}b}cosθで求める.\ 各面は正三角形なので,\ なす角は60°である.
平面では,\ 三角形が\ a},\ b},\ ab\ の3要素によってただ1つに定まる.
内積にはなす角の情報が含まれており,\ 2辺の長さとその間の角が与えられたことになるからである.
空間では,\ {四面体が\ の6要素によってただ1つに定まる.}
よって,\ 空間図形の計量をベクトルで行う場合,\ 原則的にはこの6要素の値が必要になる.
体積を求めるには,\ 垂線の長さ(垂線ベクトルの大きさ)が必要である.
OHを一旦2乗し,\ 公式\ {(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca}\ を用いて展開する.
正三角形の底面積は,\ 三角比を用いた面積公式により直ちに求められる.
実は,\ 本問は正四面体なので,\ 対称性を利用すると簡潔に済む.
対称性より頂点から下ろした垂線の足は底面の重心なので,\ 計算せずともOH}={a+b+c}{3}である.
ここでは,\ どんな四面体に対しても通用する解法を示したわけである.
{座標空間上の四面体の体積}を求めるパターン問題である.
本問の場合,\ 明らかに頂点を{O},\ 底面を{ABC}と考えるべきである.
ベクトルの始点が{O}となり,\ 座標\text A(0,\ -1,\ 2)と成分OA}=(0,\ -1,\ 2)が一致するからである.
3変数s,\ t,\ uを用いて立式してもよいが,\ ここではuを消去した形で\ OH}\ を設定した.
後はOH},\ AB},\ AC}\ を成分表示し,\ 内積0を立式すればよい.
底面積は,\ {三角形の面積のベクトル表示}(要暗記)を用いて求める.
途中までベクトルのまま計算することもできるが,\ どうせ成分にするなら最初にしておいた方がよい.
前問と全く同じである.\ 成分に0が多いので,\ uを用いた形で設定している.
連立方程式は,\ t= s4,\ u= s9としてs+t+u=1に代入してsを求めるとよい.
は三角形の面積のベクトル表示でも求められるが,\ ここでは{体積を2通りに表す}方法で求めた.
垂線{OH}の長さは,\ {({36}{49})²+({18}{49})²+({12}{49})²}\ などとしてしまうと計算が地獄である.
OH}={6}{49}(6,\ 3,\ 2)\ に着目すると,\ OH²=({6}{49})²(6²+3²+2²)となる.
よって,\ OH={6}{49}{6²+3²+2²}\ の計算で済む.
なお,\ 本問の{3点{A,\ B,\ C}は座標軸上の点であるから図示が容易}である.
空間座標の問題は正確な図示が難しい場合が多いが,\ 容易な場合には積極的に図示すべきである.
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