∫1/x²dx ∫√xdx ∫1/√xdx ∫1/xdx ∫sinxdx ∫cosxdx ∫1/cos²xdx ∫1/sin²xdx ∫e^xdx ∫a^xdx ∫logxdx まずは,\ 公式を完璧に暗記することが第一段階である. 微分の逆と考えると覚えやすいだろう. ★}は公式として扱われていないこともあるが,\ 暗記を強く推奨する. ${x^α}$の関数 & \ $∫x^{αdx={1}{α+1}x^{α+1+C$ & \ $(α\neq-1)$ 三角関数 & \ $∫sin{xdx=-cos{x+C$ 指数関数 & \ $∫e^{xdx=e^x}+C$ & \ $∫a^{xdx={a^{x{log{a}+C$ & $(a>0,\ a\neq1)$ [3zh] 対数関数 & ★} $∫log x}dx=xlog x-x}+C$ いずれも右辺を微分することで左辺になることが確かめられる. 以下,\ 使用上の注意点を述べる. 高校数学の多くの公式では,\ 公式の文字を他の式に置換しても成立する. 例えば,\ 公式\ (x+y)²=x²+2xy+y²\ に対し,\ (2x+3y)²=(2x)²+2(2x)(3y)+(3y)²\ とできる. また,\ 公式\ sin²x+cos²x=1\ に対し,\ sin²3x+cos²3x=1\ とできる. しかし,\ {微分・積分では公式のxを置換した式も成り立つとは限らない\ (普通成り立たない). 例えば,\ ∫sin xdx=-cos x+C\ に対し,\ ∫sin 2x=-cos2x+C\ などとしてはならない. さらに, なども許されない. αには有理数ならば何を代入しても成り立つ. 微分・積分公式は,\ 基本的には{公式と完全に同じ形の場合のみ適用できる}のである. 非常に厳しい制約の下で,\ 公式以外の関数をどう積分するかを学習するのがこの分野の目的である. ∫x^{α}dx\ の公式において\ α=-2,\ 12,\ -12\ とすると,\ その下の3つの公式が導かれる. よって必須なのは\ ∫x^{α}dx\ だけだが,\ 出題頻度や試験時間を考慮するとすべて暗記推奨である. また,\ {α=-1の場合は分母が0になってしまうため,\ ∫x^{α}dx\ の公式が適用できない.} つまり,\ ∫1xdx=∫x^{-1}dx={1}{-1+1}x^{-1+1}+C\ などとしてはならない. α=-1の場合だけは特殊で,\ {(log x)’=1x}\ の逆となる. 対数関数の積分については導くこともできなければならない.\ これは部分積分の項目で確認する.
