点と直線の距離の公式とその証明

{点(x_0,\ y_0)と直線\ ax+by+c=0\ の距離d}} 　　点$(x_0,\ y_0)$が原点となるように直線$ax+by+c=0$を平行移動する. \\[.2zh] 　　　$a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0$\ よ{ax+by+ax_0+by_0+c=0}\ 　　原点を通り,\ \maru1に垂直な直線は　$\textcolor{red}{bx-ay=0}\ \cdots\cdots\,\maru2$ \\[1zh] 　　$a^2+b^2\neqq0$より,\ \maru1と\maru2の交点Hの座標は 様々な証明方法が考えられるが,\ 図形と方程式分野なので座標平面を用いた証明を示す. \\[.2zh] 計算が少し面倒だが,\ 最も自然で,\ 多くの教科書や参考書で採用されている. \\[1zh] まず,\ 後の計算が楽になるように平行移動する. \\[.2zh] x方向に-x_0,\ y方向に-y_0平行移動すればよく,\ \bm{x\,→\,x+x_0,\ y\,→\,y+y_0}\,とすることになる. \\[1zh] y=の形にしようとすると場合分けが必要になるので,\ 一般形のままで垂直な直線の方程式を求める. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)を通り,\ ax+by+c=0に垂直な直線の式は,\ \bm{b(x-x_1)-a(y-y_1)=0}\ であった. \\[1zh] \maru1\times a+\maru2\times bより　(a^2+b^2)x+a(ax_0+by_0+c)=0 \\[.2zh] \maru1\times b-\maru2\times aより　(a^2+b^2)x+b(ax_0+by_0+c)=0 \\[.2zh] なお,\ a=b=0のときax+by+c=0は意味をもたないから,\ a^2+b^2\neqq0である. \\[1zh] 後は,\ 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離の公式\ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\,を適用すればよい. \\[.2zh] 一見複雑だが,\ 因数分解する方向で整理すると思いの外簡潔に済む.\ \,\bm{\ruizyoukon{A^2}=\zettaiti A}に注意する. \\[1zh] 点と直線の距離の公式は,\ 使用頻度が非常に高い公式であり,\ \bm{暗記必須}である. \\[.2zh] 分母は,\ \bm{直線のx,\ yの係数の2乗の和の\ruizyoukon{　}\,}である. \\[.2zh] 分子は,\ \bm{直線の式に点の座標を代入して絶対値をとったもの}である. 平行な2直線\ $y=2x-3,\ \ y=2x+4$\ の距離を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 点(1,\ 3)から直線\ $x+ky-1=0$\ に下ろした垂線の長さが\ $\ruizyoukon2$\ であるとき,\ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 定数$k$の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 点(3,\ 2)から直線\ $5x+4y+k=0$\ に下ろした垂線の長さが$2$であるとき,\ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 定数$k$の値を求めよ. 平行な2直線間の(最短)距離とは,\ 図のような\bm{垂線の長さ}のことである. \\[.2zh] また,\ 平行な2直線間の距離はどこも同じである. \\[.2zh] よって,\ \bm{一方の直線の最も簡単な点と他方の直線の距離}として求めればよい. \\[.2zh] 点と直線の距離の公式は,\ \bm{直線の方程式を一般形に変形}してから適用する.両辺を2乗 点と直線の距離の公式を適用すると,\ 後はkについての方程式を解くだけである. \\[.2zh] 両辺ともに0以上なので,\ 両辺を2乗しても同値である. \\[1zh] \bm{\underline{a\geqq0,\ b\geqq0}\ のとき　a=b\ \Longleftrightarrow\ a^2=b^2} \\[1zh] ある点から等距離の直線は,\ 点の上側と下側に合計2本ある. 点と直線の距離の公式を適用すると,\ 絶対値付き方程式に帰着する. \\[.2zh] 両辺が0以上だからといって,\ (2)のように2乗する必要はない. \\[.2zh] また,\ 場合分けして絶対値をはずす必要もない.\ 瞬殺できる型である. \\[1zh] \bm{aが\underline{正の定数}であるとき　\zettaiti{x}=a\ \Longleftrightarrow\ x=\pm\,a}