3点A$(5,\ 5)$,\ B$(0,\ 4)$,\ C$(1,\ 1)$を頂点とする$\triangle$ABCについて以下の問いに答えよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 点Bを通り,\ $\triangle$ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 直線$y=mx-4(m-1)$が$\triangle$ABCの面積を2等分するとき,\ 定数$m$の値を求めよ. \\三角形の面積を2等分する直線}}}} \\\\[1zh] (1)\ \ 求める直線は,\ \textcolor{red}{線分ACの中点Mを通る.} \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 線分ACの中点Mの座標は M \phantom{ (1)}\ \ 直線BMの方程式は (2)\ \ 直線$y=mx-4(m-1)$は,\ $\textcolor{red}{y=m(x-4)+4}$\,より,\ \textcolor{red}{定点P(4,\ 4)を通る直線}である.Pは,\ 線分CAを$3:1$に内分する点}である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 直線$y=mx-4(m-1)$が$\triangle$ABCを2等分するとき,\ 直線は辺BCと交点Qをもつ. \phantom{ (1)}\ \ 直線$y=mx-4(m-1)$が点Qを通る条件は,\ $\left(\bunsuu13,\ 3\right)$を代入して $ (1)\ \ 2つの三角形の面積比は,\ 高さが等しければ底辺の比に等しい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 辺\mathRM{CA}を底辺とみると,\ 高さは\mathRM{BH}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 直線が辺\mathRM{CA}の中点\mathRM{M}を通るとき,\ \mathRM{\triangle CBM:\triangle ABM=1:1}となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を結ぶ線分の中点の座標 \left(\bunsuu{x_1+x_2}{2},\ \bunsuu{y_1+y_2}{2}\right) \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 y-y_1=\bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \\\\ (2)\ \ 直線y=mx-4(m-1)は,\ mの値が変わると傾きもy切片も変わる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ この形のまま2等分条件を考えるのは非常に面倒である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{文字定数が1次の直線は,\ 必ず通る定点をもっていることが多い.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 直線が必ず通る定点を見つけることができれば,\ 一気に問題の見通しがよくなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 御丁寧に「定点を求めよ」と誘導がつくことは少ないので,\ 自分から定点を求めにいく. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ mの値によらず通る定点を求めるとき,\ \bm{mについての恒等式}と考えるのであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ mで整理するとm(x-4)+(-\,y+4)=0より,\ x-4=0かつ-y+4=0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の場合はy-4=m(x-4)と変形しても定点がわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の方程式はy-y_1=m(x-x_1)となるからである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 点(4,\ 4)を必ず通ることがわかれば,\ \bm{辺\mathRM{BC}と交わる}こともわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 辺\mathRM{AB}と交わるとすると,\ \triangle\mathRM{AQP}の面積は(1)の\triangle\mathRM{ABM}の面積よりも小さくなるからである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 2等分条件は,\ \bm{\triangle\mathRM{CAB}:\triangle\mathRM{CPQ}=2:1}と考えて立式する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここで,\ \bm{角が等しい2つの三角形の面積比は,\ 挟む辺の積の比に等しい}のであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際,\ \triangle\mathRM{CAB}:\triangle\mathRM{CPQ}=\mathRM{\bunsuu12CA\cdot CB\sin\theta:\bunsuu12CP\cdot CQ\sin\theta=CA\cdot CB:CP\cdot CQ}\ である. \\\\ \phantom{(1)}\ \ 点\mathRM{C,\ P,\ A}のx座標は1,\ 4,\ 5であるから,\ \mathRM{CP:PA=(4-1):(5-4)=3:1}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを考慮して\mathRM{CQ:QB}が求まるから,\ 後は内分点の公式で\mathRM{Q}の座標を求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を結ぶ線分をm:nに内分する点の座標 \left(\bunsuu{nx_1+mx_2}{m+n},\ \bunsuu{ny_1+my_2}{m+n}\right)
