直線の傾きによる2点間の距離の公式(放物線の弦の長さ)

parabola-subtense
上左図において,\ 線分ABの長さを直線の傾き${m}$を用いて}表す.  「傾き$m$」は,${(yの増加量)}{(xの増加量)}= m1$\ を意味する.  よって,\ ${AP:PB=1:m}$\ であり,\ $$ABPは上右図の三角形と相似となる.  ここで,\ ${AP=β-α$\ であることから,\ 次の公式が導かれる 2点間の距離が,\ {直線の傾きmとx座標の差}から直ちに求まる. 意外に使う機会の多い有用な公式であり,\ 是非とも覚えておきたい. 本問は,\ 真面目に交点を求め,\ 普通の2点間の距離の公式を適用しても求まる. しかし,\ 文字が多くなったり問題が複雑になったりすると,\ かなり厳しくなる. 2点の座標を求めて普通の2点間の距離の公式を適用} 交点の座標は解と係数の関係の利用}]  $2つの交点は普通の2点間の距離の公式解と係数の関係 上の解答では,\ 2点の座標から普通に求めた場合も割と簡潔に見えるかもしれない. 実際に交点の数値が求まることで,\ そこまで困難な計算にはならないからである. しかし,\ 常に2点の座標が簡単に求まるとは限らない. やはり,\ {直線の傾きmを用いた公式が,\ 最も汎用性が高く簡潔}である. また,\ 2次関数と直線の構図であるから,\ {解と係数の関係の利用}も考えられる. 交点を求めることが困難で,\ 傾きmの公式も知らなければ,\ 通常この解法をとる. 交点のx座標を\ α,\ β\ と設定し,\ 2点間の距離の公式を適用する. 交点のy座標は,\ α²,\ β²\ とおくことも可能だが,\ 計算が大変になるだけである. 後は,\ {対称式の変形}をして値を求めればよい.\ なお,\ 解と係数の関係は次である. 次の対称式の変形もよく登場するので慣れておくこと.\ できれば暗記が理想.
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