直線の傾きによる2点間の距離の公式(放物線の弦の長さ)

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放物線\ y=x^2\ が直線\ y=2x+1\ から切り取る線分の長さlを求めよ.$ \\ 直線の傾きによる2点間の距離の公式(放物線の弦の長さ)}}}} \\\\[1zh]   2点A$(x_1,\ y_1)$,\ B$(x_2,\ y_2)$間の距離の公式は,\ $\ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$であった. \\[1zh]   実は, 2点間の距離の公式はもう1つある. \\[.2zh]   学校では習わないことが多いが,\ 知っていると便利なので紹介する. \\[.2zh]   {直線上の2点間の距離を求める}}ときには特に有効である. 線分ABの長さを\,\underline{直線の傾き$\bm{m}$を用いて}\,表す.}} \\[1zh]   「傾き$m$」は,\ \ $\bunsuu{(yの増加量)}{(xの増加量)}=\bunsuu m1$\ を意味する. \\[.5zh]   よって,\ $\mathRM{AP:PB=1:m}$であり,\ $\triangle$ABPは右図の直角三角形と相似となる. \\[.2zh]   右図の三角形の斜辺の長さは$\ruizyoukon{1+m^2}$なので,\ $\bm{\textcolor{red}{\mathRM{AP:AB=1:\ruizyoukon{1+m^2}}}}$\ が成立する.   ここで,\ $\textcolor{red}{\mathRM{AP=x_2-x_1}}$\ であることより,\ 以下の公式が導かれる. \ruizyoukon{1+m^2}\,(x_2-x_1)$を利用\,},解と係数の関係を利用\, 2次関数と2点で交わる直線の構図では,\ \bm{解と係数の関係の利用}も有効である. \\[1zh] 交点のx座標が複雑になる場合,\ 一旦x=\alpha,\ \beta\,と設定して計算する . \\[.2zh] すると,\ (\beta-\alpha)^2\,の値を求めることに帰着する. \\[.2zh] \beta-\alpha=-\,(\alpha-\beta)より,\ \beta-\alpha\,は交代式(文字を入れ替えると正負が逆になる式)である. \\[.2zh] 交代式は,\ \bm{2乗すると対称式}(文字を入れ替えても変わらない式)となるのであった. \\[.2zh] 結局(\beta-\alpha)^2\,は対称式であるから,\ 基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,で表すことができる. \\[.2zh]  \bm{(\beta-\alpha)^2}=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta=\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\}-2\alpha\beta=\bm{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta} \\[1zh] 後は,\ 解と係数の関係を利用することで簡潔に求められる. \\[.2zh]
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