三角形の形状(正三角形・二等辺三角形・直角三角形)

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次の3点A,\ B,\ Cを頂点とする三角形の形状を答えよ. \三角形の形状}}}} \\\\[.5zh]  実質的に\textbf{「正三角形}」「\二等辺三角形}」「直角三角形}」}の識別が問われている. \\[.2zh]  まず,\ \textbf{\textcolor{cyan}{2点間の距離の公式}}で\textbf{\textcolor{red}{3辺の長さ}}を求め,\ 正三角形と二等辺三角形の識別を行う. \\[.2zh]  正三角形でない場合,\ \textbf{\textcolor{red}{三平方の定理が成立するか}}(直角三角形かどうか)を識別する. {AC=BC}の二等辺三角形}$2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離 \ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[.2zh] 実際には,\ \ruizyoukon{ }\,が鬱陶しいので辺の長さの2乗を考える. \\[1zh] また,\ \bm{直角三角形であることの必要十分条件は三平方の定理が成り立つこと}である. \\[.2zh] よって,\ 最大辺の2乗が他の辺の2乗の和と一致するか否かを調べると,\ 直角三角形か否かがわかる. \\[.2zh] 5^2\neqq2^2+5^2\,より,\ 本問の三角形は直角三角形ではない. \\[.2zh] これを確認した上で,\ 最終的な答えを二等辺三角形とする. \\[.2zh] 二等辺三角形であるとき,\ \bm{どの辺とどの辺が等しいかを明記}する必要がある. 直角三角形であるとき,\ \bm{どの角が直角かを明記}する必要がある. \\[.2zh] 本問の三角形は,\ 「\mathRM{AB=AC}の二等辺三角形」かつ「\angle\mathRM{A}=90\Deg の直角三角形」である. \\[.2zh] このとき,\ 「\angle\mathRM{A}=90\Deg の直角二等辺三角形」とだけ書けば,\ \mathRM{AB=AC}であることもわかる. \\[.2zh] よって,\ 最終的な答えとして\mathRM{AB=AC}を明記する必要はない. 2点A$(0,\ 2)$,\ B$(4,\ 0)$に対し,\ $\triangle$ABCが正三角形となるような点Cの座標を求めよ. \\   点Cの座標を$(x,\ y)$とおく. 正三角形であるための必要十分条件は,\ \bm{「\mathRM{AB^2=BC^2=CA^2}」}である. \\[.2zh] \bm{(等式の数)=(等号の数)}より,\ \mathRM{「AB^2=BC^2」かつ「BC^2=CA^2」}と考えればよい. \\[1zh] \maru2をy=2x-3として\maru1に代入すると (x-4)^2+(2x-3)^2=20 \\[.2zh] 2点A$(1,\ 1)$,\ B$(5,\ 3)$に対し,\ $\triangle$ABCが直角三角形となるような$x$軸上の点Cの座標 \\[.2zh] \hspace{.5zw}を求めよ. \\ $\angle$Cが直角}になるとき AB^2=BC^2+CA^2BC^2=CA^2+AB^2CA^2=AB^2+BC^2 \bm{どの角が直角になるかで3つに場合分けしなければならない}ことに注意する. \\[1zh] [1]\ \ 直径に対する円周角は90\Deg なので,\ \mathRM{AB}を直径とする円とx軸の交点が点\mathRM{C}である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 円の方程式学習後はこの方針でも求められるようになるが,\ 三平方の定理より面倒になる.
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