直線の方程式(基本形・一般形・切片形)

スポンサーリンク
<基本形}} $\bm{\textcolor{red}{y=mx+n}}$  ($\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{傾きm,\ y切片n}}$($\bm{x_1,\ y_1}$)を通る傾き$\bm{m}$の直線} 座標平面上の図形はすべて,\ 数学的には\bm{「条件を満たす点の集合」}である. \\[.2zh] よって,\ 直線の方程式とは,\ \bm{直線上の任意の点(x,\ y)が満たすべき条件式}のことである. \\[.2zh] 傾きとy切片が既知の場合に基本形で表せることは中学で学習済みである. \\[.2zh] しかし,\ 高校数学では,\ 直線の方程式を求めるときにその2つが判明していることは少ない. \\[.2zh] 多くの場合,\ 直線が通る1点あるいは2点が既知なので,\ [1]'や[1]''を利用することになる. \\[1zh] さて,\ \bm{1点と傾きが定まれば,\ 1本の直線が定まる.} \\[.2zh] この観点から,\ 直線上の任意の点(x,\ y)が満たすべき条件式を求めたものが[1]'である. \\[.2zh] \bm{直線上の任意の点(x,\ y)と点(x_1,\ y_1)に対して,\ \bunsuu{y-y_1}{x-x_1}\ が常に一定になる.} \\[.8zh] よって,\ \bunsuu{y-y_1}{x-x_1}=m,\ つまり\ y-y_1=m(x-x_1)\ が成立する. \\\\ また,\ 1点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の式を,\ 以下の観点で導くこともできる. \\[.2zh] y=mxは,\ 原点を通る傾きmの直線である. \\[.2zh] 故に,\ \bm{y=mxをx方向にx_1,\ y方向にy_1\,平行移動すると(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線となる.} \\[.2zh] 数式的には,\ x\,→\,x-x_1,\ y\,→\,y-y_1\ と置換することになる(数\text Iで学習済). \\[1zh] 実際には,\ \bm{\textcolor{red}{y=m(x-x_1)+y_1}}\ として扱うと素早く直線の方程式を求めることができる. \\[1zh] なお,\ \bm{y軸に平行な直線には傾きが存在しない.} \\[.2zh] よって,\ このような直線を傾きmを用いた形で表すことはできず,\ \maru2のように表すことになる. \\[.2zh] x=x_1\,が表すのは,\ \bm{「x座標がx_1\,となる点の集合」}である. \\[.2zh] yは何ら制限がなく全ての実数をとりうるから,\ x=x_1\,はy軸平行な直線を表す. \\[.2zh] x軸に平行な直線はy=y_1\,と表されるが,\ こちらはy=m(x-x_1)+y_1\,の形で表せる(m=0). \\[1zh] \bm{2点が定まれば,\ 1本の直線が定まる.} \\[.2zh] この観点から,\ 直線上の任意の点(x,\ y)が満たすべき条件式を求めたものが[1]''である. \\[.2zh] 傾きが\ \bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}\ と求まるから,\ これを[1]'のmに代入しただけである. \\[.8zh] x_1=x_2\,のとき,\ y軸に平行な直線となる. \\[1zh] y-y_1=\bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\,の分母をはらうと次の式になる. \\[.8zh]  \bm{\textcolor{red}{(y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0}} \cdots\cdots\,(*) \\[.8zh] 単に分母をはらっただけだが,\ これによりx_1=x_2\,の場合を分ける必要がなくなる. \\[.2zh] 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線がy軸と平行になるとき,\ x_1=x_2,\ y_1\neqq y_2\,である. \\[.2zh] (*)においてx_1=x_2\,とすると,\ y_1\neqq y_2\,よりx=x_1\,が導かれる. \\[.2zh] つまり,\ (*)はx_1=x_2\,の場合を含むわけである. \\[1zh] 以下のように文字を含む場合,\ (*)の表現の利用が便利である. \\[.2zh] 例として,\ 2点(1,\ 2),\ (a,\ b)を通る直線の方程式を求めるとする. \\[.2zh] a\neqq1のときy=\bunsuu{b-2}{a-1}(x-1)+2,\ \ a=1のときx=1となる. \\[.8zh] 一方,\ (*)の表現ならば,\ (b-2)(x-1)-(a-1)(y-2)=0\,のみで済む. 座標平面上のすべての直線は,\ 基本形y=mx+nまたはx=x_1\,の形で表される. \\[.2zh] これらは,\ mx+(-\,1)y+n=0とx+0y+(-\,x_1)=0より,\ いずれもax+by+c=0の形である. \\[1zh] 基本形と一般形の長所と短所を改めて確認する. \\[.2zh] 基本形は,\ 一瞬で傾きとy切片がわかるので,\ グラフを瞬時に描くことができる. \\[.2zh] また,\ 直線を文字で設定するとき,\ 未知数が2つで済む. \\[.2zh] しかし,\ y=mx+nのみではy軸に平行な直線を表すことができない. \\[.2zh] よって,\ \bm{y軸と平行になりうる場合には場合分けする}ことになる. \\[1zh] 一般形は,\ \bm{未知数が3つ必要になるかわりに座標平面上のすべての直線を単一の式で表せる.} \\[.2zh] なお,\ a=b=0の場合は意味をもたない. \\[1zh] 以下はベクトルを学習中あるいは学習済の人用の説明である. \\[.2zh] 一般形の利点として,\ \bm{法線ベクトルが瞬時にわかる}ことも挙げられる. \\[.2zh] 法線ベクトルとは,\ 直線と垂直なベクトルのことである. \\[.2zh] 直線ax+by+c=0は,\ 原点を通るように平行移動するとax+by=0となる. \\[.2zh] ここで,\ ax+by=0は,\ \bm{内積(a,\ b)\cdot(x,\ y)=0}\ とみなすことができる. \\[.2zh] 始点を原点\mathRM{O}とするとき,\ 直線の傾きを表すベクトルが\ \bekutoru{OP}=(x,\ y)\ となる. \\[.2zh] よって,\ \bekutoru*n=(a,\ b)とすると,\ \bekutoru*n\cdot\bekutoru{OP}=0\ より\,\bm{\bekutoru*n\perp\bekutoru{OP}}\,となる. \\[.2zh] つまり,\ 直線ax+by+c=0の法線ベクトルは,\ \bm{\bekutoru*n=(a,\ b)}\ である. (a,\ 0),\ (0,\ b)\ (a\neqq0,\ b\neqq0)を通る直線の方程式は,\ 瞬時に切片形で表せる. \\[.2zh] 傾き-\bunsuu ba,\ y切片bの直線であるから y=-\bunsuu bax+b \\[.8zh] -\bunsuu baxを移項した後に両辺をbで割ると \bunsuu xa+\bunsuu yb=1 \hspace{.5zw}次の直線の方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 点$(2,\ 3)$を通り,\ 傾き4の直線 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 2点$(1,\ 2),\ (5,\ 7)$を通る直線 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 2点$(2,\ 3),\ (2,\ 6)$を通る直線 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 2点$(2,\ 3),\ (4,\ 3)$を通る直線 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ 2点$(3,\ 0),\ (0,\ 2)$を通る直線 \\ {2点のx座標が等しいので,\ y軸に平行な直線2点のy座標が等しいので,\ x軸に平行な直線}\ (1)\ \ 中学生のように,\ y=4x+bとしてから(2,\ 3)を代入してbを求める方法は回りくどい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y-y_1=m(x-x_1)\ を利用する. \\[1zh] (5)\ \ (2)と同様にしてもよいが,\ \bm{切片形で瞬殺}できる.\ 基本形にすると\,y=-\bunsuu23x+2\,となる./div>
タイトルとURLをコピーしました