直線の方程式(基本形・一般形・切片形)

[1]’の図ではX-X₁とy-y₁が逆になっていますm(_ _)m

line-equation
複数の表現を問題によって使い分ける.  そのためには,\ 各表現の特徴を把握しておく必要がある. 基本形通る傾き${m}$の直線}y軸平行})}$} 座標平面上の図形は,\ 数学的には{「点の集合」}である. {直線上の点(x,\ y)が満たす式}が,\ 直線の方程式である. 傾きとy切片が判明している場合,\ 瞬時に基本形で表せる(中学で学習). しかし,\ 直線の方程式を求める問題で,\ その2つが判明している場合は少ない. 実際には,\ ‘,\ ”の場合がほとんどで,\ 最重要なのが’である. {1点と傾きが定まれば,\ 1本の直線が定まる.} この観点から,\ 直線上の点(x,\ y)が満たす方程式を求めたものが’である. {直線上の任意の点(x,\ y)と点(x₁,\ y₁)の傾き\ {y-y₁}{x-x₁}\ が常に一定である. また,\ 次のように考えて求めた式と一致することにも着目しておこう. {原点を通る傾きmの直線y=mxをx方向にx₁,\ y方向にy₁平行移動する.} この平行移動は,\ x→ x-x₁,\ y→ y-y₁\ と置換することは学習済みである. これらの式の意味を理解した上で,\ さらに公式として暗記しておく. 今後,\ 中学生のように,\ 傾きaを求め,\ y=ax+bとしてbを求めるのは止める. 実際には,\ {y=m(x-x₁)+y₁\ と覚えておくと,\ 余計な変形をせずに済む. なお,\ {y軸に平行な直線は傾きが存在しない.} よって,\ この場合は,\ の形で表すことはできず,\ のように表すことになる. x=x₁\ は,\ {「x座標が常にx₁」}を意味している. また,\ yに関しては何ら制限がないので,\ yは全ての実数をとりうる. それゆえ,\ x=x₁\ はy軸平行な直線を表している. ちなみに,\ x軸平行な直線はy=y₁\ と表されるが,\ これはに含まれる(m=0). {2点が定まれば,\ 1本の直線が定まる.} この観点から,\ 直線上の点(x,\ y)が満たす方程式を求めたものが”である. 傾きが\ {y₂-y₁}{x₂-x₁}\ と求まるから,\ これを’のmに代入しただけである. 実際には,\ {傾きが\ {y₂-y₁}{x₂-x₁}\ で,\ 2点のうち1点を通る直線と考え’を適用する.} さて,\ この形の分母を払い,\ 整理してみると次の式になる. 単に分母を払っただけだが,\ それによってx₁=x₂の場合を分ける必要がなくなる. x₁=x₂\ とすると,\ y₁ y₂\ より,\ x=x₁\ が導かれるからである. 以上の理由で,\ 文字を含むようなとき,\ この表現の利用が推奨される. 例として,\ 2点(1,\ 2),\ (a,\ b)を通る直線の方程式を求めよう. 元の公式を使うと,\ 一方,\ 分母を払った形を使えば,\ (b-2)(x-1)-(a-1)(y-2)=0\ だけで済む. 一般形} 直線の方程式で重要なのは,\ 基本形と一般形の違い(長所と短所)である. 基本形は,\ 一瞬で傾きとy切片がわかることが長所である.\ グラフも瞬時に描ける. また,\ 直線を文字で設定するとき,\ 未知数が2つで済む. しかし,\ y=mx+nだけでは,\ y軸に平行な直線を表すことができない. よって,\ {y軸平行になりうるかを吟味し,\ 必要なら場合分け}しなければならない. 一般形は,\ {未知数を3つ要するかわりに,\ 座標平面上の全直線を単一の式で表せる.} 状況に応じてうまく使い分けよう.\ なお,\ a=b=0の場合は意味を持たない. さらに,\ 一般形の利点として,\ {法線ベクトルが瞬時にわかる}ことが挙げられる. 法線ベクトルとは,\ 直線の傾きに平行なベクトルと垂直なベクトルである. 直線が原点を通るように平行移動すると,\ ax+by=0\ となる. ここで,\ ax+by=0は,\ {内積(a,\ b)(x,\ y)=0}\ とみなすことができる. 始点を原点{O}とするとき,\ 直線の傾きを表すベクトルが\ OP}=(x,\ y)\ となる. よって,\ nOP}=0\ より,\ {n⊥OP\ であるから,\ n\ が法線ベクトルである. 結局,\ {ax+by+c=0の法線ベクトルは,\ n=(a,\ b)}\ である. 切片形 x切片とy切片が与えられた場合,\ 瞬時に直線の方程式をこの形で表せる. 普通,\ これを基本形か一般形に変形して答える. 基本形に直せば,\ y=- bax+b\ (傾き- ba,\ y切片b)\ となる.  \ ${x=2}$  { $[2点のx座標が等しいので,\ y軸平行な直線}]$}  \ ${y=3}$  { $[2点のy座標が等しいので,\ x軸平行な直線}]$} \ \ できれば,\ 最初から\ y=4(x-2)+3\ と立式しよう. \切片形で瞬殺.\ 一般形で答えた.\ 基本形\ y=-23x+2\ で答えてもよい.
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