座標平面上の三角形の面積の公式、直線と放物線の最短距離

triangle-area
放物線\ $y=x²$\ 上の点Pと2点A$(0,\ -2)$,\ B$(3,\ 1)$を頂点とする$$ABP の面積$S$の最小値とそのときの点Pの座標を求めよ. ベクトル分野では,作る面積として学習する. 点Aが原点となるよう平行移動 点{P}を文字で設定し,\ 座標平面上の三角形の面積の公式を適用する. そのために,\ まず{1点が原点となるように平行移動}しておく. 常により,\ 絶対値が外せる. 点と直線の距離の公式の利用}]    直線ABの方程式は  点Pと直線ABの距離$d$は    普通に\ (底辺)(高さ)2\ で三角形の面積を計算する方法である. 高さを求めるために,\ 点と直線の距離の公式を利用する. 一般的に,\ {曲線と直線の距離を考えるとき,\ 点と直線の距離の公式が利用できる.} 距離を求めるには有効だが,\ 三角形の面積を求めるとなると他の解法に劣る. よって,\ 本問の場合,\ この解法にメリットはない. 絶対値は,\ 常に 本問の方法を一般化することで,\ 座標平面上の三角形の面積の公式が得られる. 3点{O(0,\ 0),\ A(x₁,\ y₁),\ B(x₂,\ y₂)}があるとする. 直線{OA}の方程式は 点{Bと直線OAの距離dは}接線の方程式の利用}]  直線ABの方程式は $y=x-2}$  { $[傾き\ 1}]$}  点Pにおける$y=x²\ の接線が直線{AB}と平行となるとき,\ Sが最小となる.$}  $$ABPを点Aが原点となるよう平行移動して 放物線と直線の距離が最短となるのは,\ {図形的には平行な直線が接する}ときだ. 微分を用いてこのときの接点{P}が求まる. 点{P}の座標を特定したいだけならば,\ 最も素早く行える. 後は,\ 座標平面上の三角形の面積の公式を適用すればよい.
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