垂直二等分線の方程式、直線に関して対称な点、直線に関して対称な直線

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2点A$(1,\ 2)$,\ B$(5,\ 1)$を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求めよ. \\ 垂直二等分線の方程式}}}} \\\\[.5zh]   垂直二等分線であるための条件は,\ 文字通り\textbf{「\textcolor{red}{垂直}」と「\textcolor{red}{二等分}」}である. \\[.2zh]   実際には,\{線分ABの中点を通り,\ 直線ABに垂直な直線}」}として求める. \\\\\\   求める垂直二等分線は$y$軸に平行な直線ではないから,\ その傾きを$m$とすると 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の傾きは \bunsuu{(yの増加量)}{(xの増加量)}=\bm{\bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\[.8zh] 傾きm_1の直線と傾きm_2の直線の垂直条件は\  \bm{m_1m_2=-\,1} \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)を通り,\ 傾きmの直線の方程式は \bm{y-y_1=m(x-x_1)} \\[1zh] y軸に平行な直線には傾きが存在しない. \\[.2zh] 2点\text{A,\ B}のy座標が異なるから,\ 線分\text{AB}の垂直二等分線はy軸に平行ではない. 直線\ $2x-y-3=0$\ に関して,\ 点A$(1,\ 4)$と対称な点Bの座標を求めよ. \\ 直線に関して対称な点}}}}{対称点を文字で設定}}し,\ 以下の2条件を立式した後,\ 連立する. \textcolor{red}{線分\mathRM{AB}の中点が直線2x-y-3=0上にある} \\[.2zh] \textcolor{cyan}{直線\mathRM{AB}と直線2x-y-3=0が垂直}   点Bの座標を$\textcolor{magenta}{(a,\ b)}$とおく. \\[1zh]   線分ABの中点の座標は    \textcolor{red}{中点が直線$2x-y-3=0$上にある}から    直線ABの傾きは $\bunsuu{b-4}{a-1}$ \\[.2zh]   \textcolor{cyan}{直線ABは直線$y=2x-3$と垂直}であるから $ 直線\ $2x-y-3=0$\ に関して,\ 直線\ $x-y+1=0$\ と対称な直線の方程式を求めよ. \\ 直線に関して対称な直線}}}} \\\\[.5zh]   対称軸となる直線を$l$,\ 対称移動する直線を$m$とする. \\   \textbf{\textcolor{blue}{直線$\bm{m}$上の点を直線$\bm{l}$に関して対称移動した点の集合}}が求める直線である. \\[1zh]   直線$m$上の点のうち,\ 直線$l$と直線$m$の交点は対称移動しても移動しない. \\   よって,\ \textbf{\textcolor{red}{$2直線\bm{l,\ m}$の交点と,\ $\bm{m}$上の任意の1点の対称点を通る直線}}として求める.   2直線$2x-y-3=0,\ x-y+1=0$の交点は $\textcolor{red}{(4,\ 5)}$ \\[.5zh]   直線\ $x-y+1=0$\ 上の点\textcolor{magenta}{(0,\ 1)}をAとする. \\[2zh]   また,\ 直線\ $2x-y-3=0$\ に関して点Aと対称な点を\textcolor{magenta}{B$(a,\ b)$}とする. \\\\   線分ABの中点の座標は $\textcolor{red}{\left(\bunsuu{a}{2},\ \bunsuu{b+1}{2}\right)}$ \\[.5zh]   \textcolor{red}{中点が直線$2x-y-3=0$上にある}から   直線ABの傾きは $\bunsuu{b-1}{a-0}$ \\[.2zh]   \textcolor{cyan}{直線ABは直線$y=2x-30$と垂直}であるから $\textcolor{cyan}{2\cdot\bunsuu{b-1}{a-0}=-\,1}$ \\[.2zh]   整理すると    求める直線の方程式は,\ $\textcolor{red}{2点(4,\ 5),\ \left(\bunsuu{16}{5},\ -\bunsuu35\right)を通る直線}である. m上の任意の点として,\ 最も簡単な(0,\ 1)を選択した. \\[.2zh] 結局,\ \bm{(0,\ 1)の対称点と交点(4,\ 5)を通る直線}が求める直線である. \\[1zh] 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 y-y_1=\bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\ \ (x_1\neqq x_2)
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