折れ線の長さの最小値

AC=37はAC=√37の誤りですm(_ _)m

polygonal-line
2点A(1,\ 6),\ B(5,\ 3)がある.\ 点Pが直線\ $y=-x+5$\ 上を動くとき, ${AP+PB}$の最小値と,\ そのときの点Pの座標を求めよ.  ${AP+PB}$をまともに立式して最小値を求めるのはあまりに大変である.  よって,\ 折れ線の長さを扱う場合,\ 図形的考察も行うのが基本となる.  1点を直線に関して対称移動し,\ 直線で結んだときが最小である.  直線\ $y=-x+5$\ に関して,\ 点Aと点Bは同じ側にある.}  直線\ $y=-x+5$\ に関して,\ 点Bと対称な点をC$(a,\ b)$}とする.  線分BCの中点の座標は $  中点が直線$y=-x+5$上にある}から  直線BCの傾きは ${b-3}{a-5}$  直線BCは直線$y=-x+5$と垂直}であるから   3点A,\ P,\ Cが一直線上に並ぶとき,\ 等号が成立する.}  また,\ 直線ACの方程式は   これと直線\ $y=-x+5$\ との交点は  念のため,\ 点{A,\ B}が直線\ y=-x+5\ に関して同じ側にあることを確認する. ここでは,\ 点{B}を直線\ y=-x+5\ に関して対称移動した. もちろん,\ 点{A}を対称移動してもよい 2辺とその間の角が等しい. よって,\ PBMと PCM}は合同であり,\ {PB=PCとなる. ゆえに,\ {AP+PB=AP+PC}となり,\ AP+PC}の最小値に帰着}する. 当然,\ 点Aから点Cまでを直線で結ぶとき,\ 最小をとる. 後は,\ {2点間の距離の公式}で長さの最小値を求める. また,\ {2直線の交点}として点{P}の座標を求める.
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