折れ線の長さの最小値

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2点A(1,\ 6),\ B(5,\ 3)がある.\ 点Pが直線\ $y=-\,x+5$\ 上を動くとき, $\mathRM{AP+PB}$の最小 \\[.2zh] \hspace{.5zw}値と,\ そのときの点Pの座標を求めよ. \\ 折れ線の長さの最小値}}}} \\\\[.5zh]  点Pの座標を文字で設定し,\ $\mathRM{AP+PB}$を計算して最小値を求めるのはあまりに大変である. \\[.2zh]  折れ線の長さの最小値を求める場合,\ \textbf{\textcolor{purple}{図形的に考える}}のが基本となる. \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{red}{1点を直線に関して対称移動すると,\ 直線で結んだときが最小となる.   直線\ $y=-\,x+5$\ に関して,\ 点Aと点Bは同じ側にある.}}} \\[.2zh]   直線\ $y=-\,x+5$\ に関して,\ 点Bと対称な点を\textcolor{magenta}{C$(a,\ b)$}とする. \\[1zh]   線分BCの中点の座標は    \textcolor{red}{中点が直線$y=-\,x+5$上にある}から    直線BCの傾きは 直線BCは直線$y=-\,x+5$と垂直}であるから   整理すると    ここで $\textcolor{red}{\mathRM{AP+PB=AP+PC\geqq AC}}$ \\[.5zh]   \textcolor{red}{3点A,\ P,\ Cが一直線上に並ぶとき,\ 等号が成立する   直線ACの方程式は    これと直線\ $y=-\,x+5$\ との交点は  まず,\ 点\mathRM{A,\ B}が直線\ y=-x+5\ に関して同じ側にあることを確認する. \\[.2zh] 今回は,\ 点\mathRM{B}を直線\ y=-x+5\ に関して対称移動した.\ もちろん,\ 点\mathRM{A}を対称移動してもよい. \\[1zh] 線分\mathRM{BC}の中点を\mathRM{M}とし,\ \mathRM{\triangle PBMと\triangle PCMについて考える.} \\[.2zh] \mathRM{BM=CM,\ PMは共通,\ \angle PMB=\angle PMC=90\Deg}より,\ 2辺とその間の角が等しい. \\[.2zh] よって,\ \bm{\mathRM{\triangle PBMと\triangle PCM}は合同}であり,\ \bm{\mathRM{PB=PC}}となる. \\[.2zh] ゆえに,\ \mathRM{AP+PB=AP+PC}となり,\ \bm{\mathRM{AP+PC}の最小値に帰着}する. \\[.2zh] 当然,\ \mathRM{\bm{点Aから点Cまでを直線で結ぶとき,\ ACが最小になる.}} \\[.2zh] \bm{2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離の公式\ \ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\,で\mathRM{AC}の長さを求める. \\[.2zh] また,\ \bm{2直線の交点}として点\mathRM{P}の座標を求められる.
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