内分点・外分点・三角形の重心の座標、点に関する対称点

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数直線上の線分の内分点}} \\[1zh]   数直線上の2点A($a$),\ B($b$)に対し,\ 線分ABを$m:n$に内分する点をP($x$)とする. )が考えられ,\ 絶対値をつけるとまとめて処理できる. \\[.2zh] \zettaiti X=\zettaiti Y\,の絶対値をどのようにはずすかが重要である. \\[.2zh] 絶対値は,\ 中身が正ならばそのまま,\ 負ならば-をつけてはずすのであった. 以上から,\,\zettaiti X=\zettaiti Y\,は\bm{XとYが同符号ならばX=Y,\ 異符号ならば-X=Y}となるとわかる. \\[1zh] 結局,\ abのときも内分点の座標を求める公式は同じになる. \\[.2zh] 絶対値の扱いを難しく感じるならば,\ 単の場合に分けて求めれば済む.  数直線上の線分の外分点}} \\[1zh]   数直線上の2点A($a$),\ B($b$)に対し,\ 線分ABを$m:n$に外分する点をQ($x$)とする. まず,\ 外分点を図示できるようにしておく必要がある. \\[.2zh] 線分\mathRM{AB}を\bm{m:nに内分}する点は,\ \bm{線分\mathRM{AB}の内側で\mathRM{A}からm,\ \mathRM{B}からnにある点}である. \\[.2zh] 線分\mathRM{AB}を\bm{m:nに\dot{外}分}する点は,\ \bm{線分\mathRM{AB}の\dot{外}側で\mathRM{A}からm,\ \mathRM{B}からnにある点}である. 外分点が線分の端点のどちら側にあるかが変わる.} \\[.2zh] ゆえに,\ aとb,\ mとnの大小関係により,\ a,\ b,\ xの大小関係は4パターン考えられる. \\[.2zh] \bm{どの場合もx-aとb-xが異符号になる}ことを確認してほしい. \\[1zh] 外分点の公式は,\ \bm{内分点の公式のnを-nに変えたもの}となっている. \\[.2zh] これは,\ 「m:nに外分」を「m:-\,nに内分」とみることもできることを意味する. 座標平面上の2点A($\bm{x_1,\ y_1}$),\ B($\bm{x_2,\ y_2}$)を$\bm{m:n}$に内分する点Pの座標}}中点の座標 点\mathRM{A,\ B,\ P}からx軸に下ろした垂線の足を\mathRM{A’,\ B’,\ P’}とする. \\[.2zh] このとき,\ 点\mathRM{P’}は線分\mathRM{A’B’}をm:nに内分する. \\[.2zh] \mathRM{\triangle APP”\souzi ABB”}より,\ \mathRM{AP:PB=AP”:P”B”=A’P’:P’B’}\,だからである. \\[.2zh] y軸についても同様であるから,\ 結局x座標とy座標を別々に求めればよい. 座標平面上の2点A($\bm{x_1,\ y_1}$),\ B($\bm{x_2,\ y_2}$)を$\bm{m:n}$に外分する点Qの座標}}   重心G$(x,\ y)$は中線を頂点から$2:1$に内分する点である. }点A$(4,\ 3)$に関して,\ 点P$(2,\ 1)$と対称な点Qの座標を求めよ. \\ 点に関する対称点}}は,\ 対称点を文字で設定}}し,\ 次を利用して求める.点Aに関して点Pと点Qが対称}」\ {点Aが線分PQの中点}」\ {対称な点Qの座標を$(x,\ y)$}とおく. の二等分線と直線ABとの交点Pの座標を求めよ.   $\angle$AOBの二等分線と直線ABの交点を\ 平面図形で学習した\bm{「角の二等分線と辺の比の関係」}を用いる. \\[.2zh] \mathRM{\triangle OAB}において,\ 角の二等分線と辺の比の関係は,\ \bm{\mathRM{AP:PB=OA:OB}}\ となるのであった. \\[.2zh] \mathRM{\bm{線分OAの長さとOBの長さの比を求め,\ 線分ABをその比に内分する点の座標を求めればよい.}} \\[.2zh] 角の二等分線の方程式を求めた後に直線\mathRM{AB}との交点を求めてもよいが面倒である.
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