共線条件(3点が一直線上にある条件)と共点条件(3直線が1点で交わる条件)、共線と共点の関係

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3点$\mathRM{A}(1,\ 1),\ \mathRM{B}(3,\ 5),\ \mathRM{C}(2a+1,\ a-2)$が同一直線上にあるとき,\ 定数$a$の値を求めよ. 共線条件(3点が一直線上にある条件)}}}} \\\\   直線ABの方程式は $y-1=\bunsuu{5-1}{3-1}(x-1)\ より \textcolor{cyan}{y=2x-1}$ \\[.8zh]   点Cがこの直線上にある条件は $\textcolor{red}{a-2}=2(\textcolor{red}{2a+1})-1$ \\[1zh] \bekutoru{AC}=k\bekutoru{AB}$を満たす実数$k$が存在する}ことが必要十分条件である. \bm{2点を通る直線上に3点目がある}と考えればよい. \\[.2zh] 文字を含まない2点\text{A,\ B}を通る直線を求め,\ 点\mathRM{C}がその直線上にある条件を立式する. \\[.2zh] 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 y-y_1=\bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \\\\ ベクトル学習者ならば,\ ベクトルを利用する方が自然である. 3直線\ $2x+y-7=0,\ \ x-2y+4=0,\ \ ax+y-1=0$\ が1点で交わるとき,\ 定数$a$の値を求めよ.共点条件(3直線が1点で交わる条件)}}}} \\\\  2直線\ $2x+y-7=0$と$x-2y+4=0$の交点は $\textcolor{cyan}{(x,\ y)=(2,\ 3)}$ \\[.5zh]  直線\ $ax+y-1=0$\ が点$\textcolor{red}{(2,\ 3)}$を通る条件は \bm{2直線の交点を3本目の直線が通る}と考えればよい. \\[.2zh] 最初に求めるべきは,\ 文字を含まない直線2x+y-7=0,\ x-2y+4=0の交点である. 3直線\ $2x+y=1,\ 5x+4y=1,\ ax+by=1$\ が1点で交わるとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ 3点\ $(2,\ 1),\ (5,\ 4),\ (a,\ b)$\ が同一直線上にあることを示せ. 共線と共点の関係}}}} \\\\  3直線の交点の座標を$\textcolor{cyan}{(p,\ q)}$とおく. \\[.2zh]  3直線は原点を通らないから,\ $\textcolor{cyan}{p\neqq0\ \ または\ \ q\neqq0}$\ である. \\[.5zh]  このとき $\textcolor{red}{2p+q=1,\ \ 5p+4q=1,\ \ ap+bq=1}$ \\[1zh]  これは,\ $\bm{3点\ (2,\ 1),\ (5,\ 4),\ (a,\ b)\ が直線\ px+qy=1上にある}ことを意味する. もちろん,\ 単純に1点で交わる条件を求めた後に一直線上にあることを示してもよい. \\[.2zh] しかし,\ \bm{直線と点の双対性(直線と点を入れ替えても成り立つ)}に基づく本質的な方法がある. \\[.2zh] 本問の出題率は低いが,\ 後により出題率が高い問題で同様の手法が必要になる. \\[1zh] 点(p,\ q)が直線ax+by+c=0上にあるとき,\ ap+bq+c=0が成立する. \\[.2zh] 一方,\ px+qy+c=0に(x,\ y)=(a,\ b)を代入してもap+bq+c=0が得られる. \\[.2zh] これは,\ 直線px+qy+c=0上に点(a,\ b)があることを意味する. \\[.2zh] つまり,\ 以下の関係が成立する. \\[.5zh]  \bm{ap+bq+c=0\ \Longleftrightarrow\ 点(p,\ q)が直線ax+by+c=0上にある} \\[.2zh]  \bm{\phantom{ap+bq+c=0}\ \Longleftrightarrow\ 点(a,\ b)が直線px+qy+c=0上にある} \\[1zh] 交点の座標を文字で設定すると,\ 実際に交点の座標を求めることなく証明できる. \\[.2zh] どの直線も(0,\ 0)を代入すると成立しないから,\ 交点は原点ではない. \\[.2zh] これを確認したのは,\ p=q=0のときは最後のpx+qy=1が直線ではなくなるからである. \\[1zh] 3直線は交点(p,\ q)を通るから,\ \bm{3直線の方程式に(p,\ q)を代入した式が成立する.} \\[.2zh] すなわち,\ 2p+q=1,\ 5p+4q=1,\ ap+bq=1が成立する. \\[.2zh] ここで,\ \bm{px+qy=1}\ \cdots\cdots\,\maru1という直線の方程式を考える. \\[.2zh] 2p+q=1,\ 5p+4q=1,\ ap+bq=1は,\ \maru1に(x,\ y)=(2,\ 1),\ (5,\ 4),\ (a,\ b)を代入した式である. \\[.2zh] これは,\ \bm{3点が同一直線px+qy=1上にあることを意味する}わけである. \\[1zh] まとめると以下となる.\ このように見ると,\ ほぼ当たり前の性質に思えるかもしれない. \  \bm{\Longleftrightarrow\ 点(p,\ q)が直線2x+y=1,\ 5x+4y=1,\ ax+by=1上にある} \\[.2zh]  \bm{\Longleftrightarrow\ 点(2,\ 1),\ (5,\ 4),\ (a,\ b)が直線px+qy=1上にある} \\[1zh] 一般に,\ 以下が成立する. \\[.5zh]  \bm{\phantom{\Longleftrightarrow}\ \ a_1p+b_1q=1,\ a_2p+b_2q=1,\ a_3p+b_3q=1} \\[.5zh]  \bm{\Longleftrightarrow\ 原点を通らない異なる3\,\textcolor{cyan}{\underline{直線}}\,a_1x+b_1y=1,\ a_2x+b_2y=1,\ a_3x+b_3y=1が} \\[.2zh]                        \bm{原点以外の\textcolor{magenta}{\underline{点}}\,(p,\ q)上にある(1点で交わる)} \\[.5zh]  \bm{\Longleftrightarrow\ 原点以外の異なる3\,\textcolor{magenta}{\underline{点}}\,(a_1,\ b_1),\ (a_2,\ b_2),\ (a_3,\ b_3)が} \\[.2zh]                        \bm{原点を通らない\textcolor{cyan}{\underline{直線}}\,px+qy=1上にある}
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