放物線\ y=x^2\ 上に,\ 直線\ y=ax+1\ に関して対称な位置にある異なる2点\mathRM{P,\ Q}が$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$存在するようなaの範囲を求めよ. [\,一橋大\,]$ \\ 放物線上に直線に関して対称な2点が存在する条件 2点P,\ Qが直線\ $y=ax+1$\ に関して対称であるとき \\[.5zh] この2次方程式が\textcolor{red}{2つの異なる実数解をもつ}ことが条件であるから,\ 判別式を$D$として \\ 「点の存在条件」と聞くと,\ ほとんどの初学者は身構えてしまうだろう. \\[.2zh] 一方,\ 「点を求めよ」とあれば,\ 初学者でも身構えることなく問題に立ち向かえる. \\[.2zh] 実は,\ 両者はほぼ同じである.\ \bm{点が求まるということは,\ 点が存在するということ}だからである. \\[.2zh] もし点が求まらないのであれば,\ 点が存在しないということになる. \\[1zh] とにかくまず,\ \bm{問題で与えられた条件を全て数式にする}のが先決である. \\[.2zh] このとき,\ 立式に必要になる点の座標などで未知のものがあれば,\ \bm{文字を用いて設定する}ことになる. \\[.2zh] こうして,\ 点の存在条件(図形の問題)は,\ \bm{方程式の実数解の存在条件}(数式の問題)に変換される. \\[.2zh] \bm{条件式を全て満たす実数が存在するならば,\ 図形が存在する}ことになるわけである. \\[1zh] 2点\mathRM{P,\ Q}が直線\,\ell\,に関する対称点である条件は,\ 以下の2つが成立することであった. \\[.2zh] \bm{「直線\mathRM{PQ}\perp\ell\,」「線分\mathRM{PQ}の中点が\,\ell\,上にある」} \\[1zh] 2直線\ y=mx+n,\ y=m’x+n’\,の垂直条件 \bm{mm’=-\,1} \\[.2zh] \bunsuu{\beta^2-\alpha^2}{\beta-\alpha}\cdot a=-\,1 \bunsuu{(\beta+\alpha)(\teisei{\beta-\alpha})}{\teisei{\beta-\alpha}}\cdot a=-\,1 \beta+\alpha=-\bunsuu1a \\[.8zh] 積が-1になるのであるからa\neqq0であり,\ aで割ることができる. \\[1zh] 線分\mathRM{PQ}の中点は \bm{\left(\bunsuu{\alpha+\beta}{2},\ \bunsuu{\alpha^2+\beta^2}{2}\right)} \\[.8zh] これが直線y=ax+1上にあるから,\ 代入して\maru2を得る. \\[1zh] \maru1と\maru2は,\ \bm{\alpha\,と\,\beta\,の対称式}(\alpha\,と\,\beta\,を入れ替えても変わらない式)である. \\[.2zh] よって,\ \bm{基本対称式\,\alpha+\beta\,と\,\alpha\beta\,をaで表す}方向で処理していく. \\[1zh] 後は,\ \bm{2つの異なる実数\,\alpha,\ \beta\,が存在するようなaの範囲}を求めればよい. \\[.2zh] \bm{基本対称式をなす2数の実数存在条件は,\ 2次方程式を作成して求める}のであった. \\[.2zh] 2数\,\alpha,\ \beta\,を解にもつ2次方程式の1つは\ \ (t-\alpha)(t-\beta)=0 よって\ \ t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta=0(両辺にa^2\,を掛けても不等号の向きが変わらない).
