放物線と直線の最短距離、放物線上の点と直線上の2点でできる三角形の面積の最小

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放物線$y=x^2$上の点Pと直線$y=x-2$の最短距離とそのときの点Pの座標を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 放物線$y=x^2$上の点Pと2点A$(0,\ -\,2)$,\ B$(3,\ 1)$を頂点とする$\triangle$ABPの面積$S$ {放物線と直線の最短距離}}}  (2)\ \ 直線ABの方程式は  \bm{Sの最小値}\ (1)\ \ 結局は点と直線の距離であるから,\ 点と直線の距離の公式の利用が簡潔である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離は ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}}} \\[1.5zh] \phantom{(1)}\ \ 放物線上の点を文字でおいて公式を適用すると,\ 2次関数の最小問題に帰着する. \\[.2zh] \ 絶対値をはずすことができる. -つけて絶対値をはずすことになる. (2)\ \ \triangle\mathRM{PAB}の底辺を線分\mathRM{AB}とみると,\ 底辺の長さは一定である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 高さの最小,\ つまり放物線と直線の最短距離を求めることに帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離 \ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}三角形の面積公式を用いて(2)を求める}\,] \\[1zh]   点Pの座標を$\textcolor{cyan}{(t,\ t^2)}$とおく. \\[.5zh]   $\triangle$ABPを点Aが原点となるように平行移動して$\triangle\mathRM{OB’P’}$となるとすると \\[.2zh] (2)のみならば,\ 以下の面積公式を利用すると速い. \\[.2zh] 3点\mathRM{O}(0,\ 0),\ \mathRM{A}(x_,\ y_1),\ \mathRM{B}(x_2,\ y_2)を頂点とする三角形の面積 \bm{S=\bunsuu12\zettaiti{x_1y_2-x_2y_1}} \\[.2zh] 1点が原点となるように平行移動してから適用する. {接線の利用(数I\hspace{-.1em}I:整式の微分)}\,   $y=x^2$は下に凸である. {$y=x^2\,の点\mathRM{P}での接線が直線y=x-2と平行になるとき,\ 最短距離となる.$} \\[   $\triangle$ABPを点Aが原点となるように平行移動して$\triangle\mathRM{OB’P’}$となるとすると 実は,\ 「接線と直線が並行になるとき最短距離となる」という知識を用いると簡潔に済む. \\[.2zh] ただし,\ この事実を無断使用してよいかは微妙である. \\[1zh] y=x-2と平行,\ つまり\bm{接線の傾きが1}となる条件を立式すると,\ そのときの接点\mathRM{P}が求まる.
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