放物線上の3点でできる直角三角形の面積の最小

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放物線$y=x^2$上に$\angle\mathRM{POQ=90\Deg}$を満たす3点O$(0,\ 0)$,\ P$(p,\ p^2)\ (p>0)$,\ Q$(q,\ q^2)$を\ 直線PQが必ず通る定点を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\triangle$OPQの面積$S$の最小値を求めよ. \\ %\hspace{.5zw} (3)\ \ 線分PQの長さ$L$の最小値を求めよ. \\ 放物線上の3点でできる直角三角形の面積の最小}}}} \\\\[1zh]  (1)\ \ $p\neqq0,\ q\neqq0$より,\ 直線OP,\ OQの方程式は $y=px,\ \ y=qx$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 2直線OP,\ OQの垂直条件は $\textcolor{cyan}{pq=-\,1}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 直線PQの方程式は $y-p^2=\bunsuu{q^2-p^2}{q-p}(x-p)\ (p\neqq q)$\ より $y=(p+q)x-pq{直線PQは点(0,\ 1)を必ず通る. 直線\mathRM{OP,\ OQ}はy軸に平行な直線ではないから,\ y=ax+bの形で表せる. \\[.2zh] 2直線y=mx+n,\ y=m’x+n’\,の垂直条件 \bm{mm’=-\,1} \\[.2zh] 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 y-y_1=\bunsuu{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\ \ (x_1\neqq x_2) \\[.8zh] p,\ qの値によらず必ず通る定点を求めるには,\ \bm{p,\ qについての恒等式}と考えるのであった. \\[.2zh] x(p+q)+(1-y)=0の\bm{係数を比較}すると,\ x=0\ かつ\ 1-y=0である. \\[.2zh] 本問の場合,\ 恒等式と考えずとも,\ y=(p+q)x+1より瞬時にy切片が常に1であることがわかる. 相加平均と相乗平均の大小関係}より $p=1$のとき等号が成立}する 3点\mathRM{O(0,\ 0),\ A(x_1,\ y_1),\ B(x_2,\ y_2)}を頂点とする三角形の面積 \bm{\bunsuu12\zettaiti{x_1y_2-x_2y_1}} \\[1zh] 垂直条件を用いてqを消去すると,\ p+\bunsuu1p\,の最小値を求めることに帰着する. \\[.8zh] \bm{○+\bunsuu{1}{○}\,の形の式の最小値を求めるとき,\ 相加平均と相乗平均の大小関係の利用が有効}であった. \\[.5zh]  \bm{a>0,\ b>0}のとき \bm{a+b\geqq2\ruizyoukon{ab}} (\bm{a=bのとき等号成立}) \\[.5zh] 必ず前提条件a>0,\ b>0を確認したうえで適用する. \\[.2zh] また,\ 相加相乗で最大・最小を求めるとき,\ \bm{等号成立条件の確認が必須}なのであった. \\[.2zh] 「\,2以上」は「最小値2\,」を意味しないからである.\ 仮に「最小値3\,」でも,\ それは「\,2以上」である. \\[.2zh] \bm{「\,2以上\ かつ\ =2になる実数pが存在する」}で初めて「最小値2\,」が確定する. \\[1zh] 2点\mathRM{O}と\mathRM{A}(x_1,\ y_1)の距離\ruizyoukon{{x_1}^2+{y_1}^2}\,を用いてゴリ押ししようとすると,\ 巧妙な変形が必要になる. 直線\mathRM{PQ}とy軸の交点の座標が既知ならば,\ y軸で分割して中学生的に求めるのが最も簡潔である. \\ p=1のときq=-\,1より,\ \mathRM{P(1,\ 1),\ Q(-\,1,\ 1)}であるから,\ \bm{y軸に関して対称な直角三角形}となる. \\[.2zh] \bm{ある図形量が最大・最小となるのは,\ その図形が対称な形になるときであることが多い.} \\[.2zh] よって,\ 答えを求めるだけならば,\ 中学生的に面積を求めれば済む.  邪道だが,\ 図形の最大・最小問題で正攻法がわからないとき,\ これを最終手段にするとよい. \\[.2zh] つまり,\ 最悪\bm{図形が対称になるときの値だけでも求めておくと,\ 部分点をもらえる可能性が残る.}
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