点と直線の距離の公式

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平行な2直線\ $y=2x-3,y=2x+4$\ の距離を求めよ. \ 点(1,\ 3)から直線\ $x+ky-1=0$\ に下ろした垂線の長さが\ $2$\ で \ あるとき,\ 定数$k$の値を求めよ. \ 点(3,\ 2)から直線\ $5x+4y+k=0$\ に下ろした垂線の長さが$2$で \ あるとき,\ 定数$k$の値を求めよ. 2直線は傾きが同じであるから平行である. また,\ 平行な2直線間の距離はどこも同じである. よって,\ {一方の直線の最も簡単な点ともう一方の直線の距離}として求める. y=2x+4上の点ならばどこでもよいので,\ 簡単なy軸上の点で計算した. 点と直線の距離の公式を適用する前に,\ {直線の方程式を一般形に変形}しておく. {題意を満たす直線は2本あるはず}だという予想をしつつ求めていく. 点と直線の距離の公式を適用すると,\ 後はkの方程式を解くだけである. {両辺を2乗するとき,\ 常に同値性を意識する}必要がある. {a0,\ b0}\ のとき a=ba²=b²} 本問の場合,\ {左辺は絶対値なので0以上,\ 右辺も根号なので0以上}である. よって,\ 単純に2乗してkを求めればよい. 点と直線の距離の公式を適用すると,\ 絶対値付き方程式に帰着する. 両辺が0以上だからといって,\ のように2乗する必要はない. また,\ 場合分けして絶対値をはずす必要もない. この型の絶対値付き方程式は瞬殺できるのであった. {右辺が正の定数}aであるとき 
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