三角関数の積分⑥：∫1/(1±cosx)dx、∫1/(1±sinx)dx

∫1/(1+cosx)dx　∫1/(1-cosx)dx　∫1/(1+sinx)dx　∫1/(1-sinx)dx 次の積分を計算せよ. 通常は別解1が正攻法とされるが,\ 圧倒的に簡潔なのは本解である. {1cos xに半角の公式\ sin² x2={1-cos x}{2},cos² x2={1+cos x}{2}\ の逆を適用する. すると,\ 1次式置換型に帰着する.　　∫{1}{cos²x}dx=tan x+C　　∫{1}{sin²x}dx=-{1}{tan x}+C 別解1では,\ {分母分子に\ 1-cos x\ を掛けて無理矢理微分形接触型に変形する. 正確には,\ sin²x+cos²x=1を利用して{分母を1つの項にした後に分割}する. すると,\ 第1項が公式,\ 第2項が微分形接触型となる. この解法を用いると,\ {1}{1cos x},\ {1}{1sin x}\ の4積分が全く同じ考え方で解ける. 本解よりも面倒ではあるが,\ 汎用性が高いので習得しておくべき解法である. ∫{1}{t²}dt=-1t+C\ は公式である.\ また,\ 変形すると本解と一致する. ここで,\ 2倍角の公式を用いて\ 別解2では,\ {tan x2=tと置換して有理関数に帰着させる.} 1sin xには,\ このままでは半角の公式の逆が適用できない. そこで,\ cos({π}{2}-x)=sin x\ を逆に用いてsinをcosに変換してから適用する. 加法定理 ここで,\ 2倍角の公式\ cos2x=cos²x-sin²x\ を逆に用いた. 別解1のようにして1次式置換型に帰着させることもできる. まず,\ 2倍角の公式をsin xに適用して\ {sin x=sin(2 x2)=2sin x2cos x2}\ とする. そして,\ {1=sin² x2+cos² x2}と考えることで因数分解して2乗の形にできる. さらに,\ {三角関数の合成}により\ sin x2+cos x2=2sin( x2+{π}{4})とすると1次式置換型である.