放物線\ y=x^2\ が直線\ y=2x+1\ から切り取る線分の長さlを求めよ.$ \\
直線の傾きによる2点間の距離の公式（放物線の弦の長さ） \\
2点A$(x_1,\ y_1)$,\ B$(x_2,\ y_2)$間の距離の公式は,\ $√{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$であった.
実は, 2点間の距離の公式はもう1つある.
学校では習わないことが多いが,\ 知っていると便利なので紹介する.
{直線上の2点間の距離を求めるときには特に有効である. 線分ABの長さを\,直線の傾き$m}$を用いて}\,表す.
「傾き$m$」は,\ \ $(yの増加量)}{(xの増加量)}= m1$\ を意味する.
よって,\ $AP:PB=1:m}$であり,\ $△$ABPは右図の直角三角形と相似となる.
右図の三角形の斜辺の長さは$√{1+m^2}$なので,\ $AP:AB=1:√{1+m^2$\ が成立する.
ここで,\ $AP=x_2-x_1$\ であることより,\ 以下の公式が導かれる. √{1+m^2}\,(x_2-x_1)$を利用\,},解と係数の関係を利用\,
2次関数と2点で交わる直線の構図では,\ 解と係数の関係の利用}も有効である.
交点のx座標が複雑になる場合,\ 一旦x=α,\ β\,と設定して計算する .
すると,\ (β-α)^2\,の値を求めることに帰着する.
β-α=-\,(α-β)より,\ β-α\,は交代式(文字を入れ替えると正負が逆になる式)である.
交代式は,\ 2乗すると対称式}(文字を入れ替えても変わらない式)となるのであった.
結局(β-α)^2\,は対称式であるから,\ 基本対称式\,α+β,\ αβ\,で表すことができる.
(β-α)^2}=α^2+β^2-2αβ=\{(α+β)^2-2αβ\}-2αβ=(α+β)^2-4αβ}
後は,\ 解と係数の関係を利用することで簡潔に求められる.
