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共面条件は,\ 平面ベクトルにはない空間ベクトル特有の条件である. \\[.2zh] だからこそ空間ベクトルの試験での出題率が非常に高く,\ \textbf{\textcolor{blue}{空間ベクトル最重要事項}}である. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{purple}{始点を平面外の点Oとするか平面上の点Aなどとするかで大きく2通りの表現がある.}} \\[.2zh] 以下,\ \textbf{3点A,\ B,\ Cは一直線上にはない}ものとする. \\[-1zh] 2点\mathRM{A,\ B}を通る直線のベクトル方程式は \bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}\ \ (s+t=1) \\[.2zh] これは,\ 共線条件(\mathRM{A,\ B,\ P}が一直線上にある条件)とみなすこともできるのであった. \\[.2zh] [1]は,\ \bm{3点\mathRM{A,\ B,\ C}を通る平面のベクトル方程式}である. \\[.2zh] これは,\ \bm{共面条件(4点\mathRM{A,\ B,\ C,\ P}が同一平面上にある条件)}とみなすこともできる. \\[.2zh] 空間ベクトルの問題では,\ [1]と[2]のうちこちらを利用することの方が多い. \\[.2zh] この条件は,\ 3変数の扱いが面倒であったり,\ s+t+u=1を忘れたりすることがある. \\[.2zh] これを避けるため,\ あらかじめuを消去した次の形で使うこともできる. \\[.2zh] \bm{\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}+(1-s-t)\bekutoru{OC}} (記述はやや面倒になる) となる実数s,\ tがある}}$}} \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
点\mathRM{P}が点\mathRM{A,\ B,\ C}と同一平面上にあるならば,\ それは結局平面だけの話である. \\[.2zh] 平面では,\ \bekutoru*a\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru*b\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru*a\nheikou\bekutoru*b\ のとき,\ \bekutoru*p=s\bekutoru*a+t\bekutoru*b\ の形にただ1通りに表せるのであった. \\[.2zh] よって,\ 点\mathRM{P}が\ \bekutoru{AB}\ と\ \bekutoru{AC}\ で張られる平面上にあるとき,\ [2]が成立する. \\[.2zh] 実は,\ [1]は[2]から導かれる.\ [2]の始点を\mathRM{O}に変更したのが[1]である. となる実数s,\ tがある}}$}} \\\\}
[3]は,\ [1]と[2]を組み合わせた表現である. \\[.2zh] 自分で立式するときに用いることは少ないが,\ 問題でこの表現が用いられていることが意外と多い. \\[.2zh] この表現を見かけたとき,\ \mathRM{点Pが平面ABC上にある}ことを意味していることに気付いてほしい.
座標は,\ \bm{原点\mathRM{O}を始点とする位置ベクトルの成分}と見なすことができるのであった. \\[.2zh] つまり,\ 点\mathRM{A}(1,\ 0,\ -\,1)は,\ \bekutoru{OA}=(1,\ 0,\ -\,1)\ と同じことである. \\[.2zh] ゆえに,\ 座標が与えられている問題では,\ 原点\mathRM{O}を始点として考えるのが基本になる. \\[1zh] 念のため,\ 3点\mathRM{A,\ B,\ C}が一直線上にないことを確認した上で,\ 共面条件を立式する. \\[.2zh] 3点\mathRM{A,\ B,\ C}が一直線上にある条件は,\ \bekutoru{AC}=k\bekutoru{AB}\ を満たす実数kが存在することである. \\[.2zh] \bekutoru{AC}=(1,\ 4,\ 2),\ \bekutoru{AB}=(2,\ 1,\ 1)であるから,\ \bekutoru{AC}=k\bekutoru{AB}\,を満たす実数kは存在しない. \\[1zh] 本問では,\ \bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}+u\bekutoru{OC}\ \cdots\cdots\,(*)\ を用いると4変数になってしまう. \\[.2zh] そこで,\ 解答ではあらかじめuを消去した形を用いることにした. \\[.2zh] 条件を全て成分で表せば,\ 後は連立方程式を解くだけである. \\[.2zh] (*)を用いた場合,\ x=s+3t+2u,\ 8=t+4u,\ 1=-\,s+u,\ s+t+u=1を解くことになる. \\[1zh] 空間では,\ 成分を縦に書くと見やすくなるのでオススメ(大学ではこれが普通).
別解は,\ [2]の表現を用いたものである. \\[.2zh] 解答は一見簡潔だが,\ 実際には以下の計算が必要である. \\[.2zh]