coplannarity-condition

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共面条件は,\ 平面ベクトルにはない空間ベクトル特有の条件である. \\  空間ベクトルの問題では,\ この条件を自在に扱えるかが肝である. \\  \textbf{\textcolor{purple}{始点を平面外の点とするか平面上の点とするかで2通りの表現がある.}} \\  以下,\ \textbf{3点A,\ B,\ Cは一直線上にはない}ものとする. \\[-1zh] 2点\mathRM{A,\ B}を通る直線のベクトル方程式は \bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}\ (s+t=1) \\ これは,\ 共線条件(\mathRM{A,\ B,\ P}が一直線上にある条件)とみなすこともできた. \\ 上の[1]は,\ \bm{3点\mathRM{A,\ B,\ C}を通る平面のベクトル方程式}である. \\ これは,\ \bm{共面条件(\mathRM{A,\ B,\ C,\ P}が同一平面上にある条件)}とみなすこともできる. \\ 多くの場合,\ 2通りの表現のうち,\ こちらを利用する. \\ 3変数の扱いが厄介だったり,\ s+t+u=1を忘れたりすることがある. \\ これを避けるため,\ あらかじめuを消去した次の形で使うという方法もある. \\ \bm{\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}+(1-s-t)\bekutoru{OC}} (記述はやや面倒) \\ 特に,\ 3変数の連立方程式を苦手とする人にオススメである. \\ また,\ 場合によっては,\ [2]と組み合わせた次の表現も便利である. \\   (思いの外使われるので要注意!) \\ 自分で使わなくても,\ 問題で設定されていたりして,\ 知らないと戸惑う. 点\mathRM{P}が点\mathRM{A,\ B,\ C}と同一平面上にあるならば,\ 結局平面ベクトルの話である. \\ \bekutoru*a\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru*b\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru*a\heikou\bekutoru*b\ のとき,\ \bekutoru*p=s\bekutoru*a+t\bekutoru*b\ の形にただ1通りに表された. \\ よって,\ 点\mathRM{P}が\ \bekutoru{AB}\ と\ \bekutoru{AC}\ で張られる平面上にあるとき,\ [2]のように表される. \\ 始点を\mathRM{O}に取り直してみると,\ 結局[1]が導かれる. \\ が同一平面上にある.$} \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ 定数$xの値を求めよ.$ \\  3点A,\ B,\ Cは一直線上にないから,\ 点Pが平面ABC上にある条件は \\[.2zh]   座標は,\ \bm{原点\mathRM{O}を始点とする位置ベクトルの成分}と見なすことができる. \\ 故に,\ 座標が与えられていれば,\ 実質的に原点\mathRM{O}を始点として考えることになる. \\ 念のため,\ \mathRM{A,\ B,\ C}が一直線上にないことを確認した上で,\ 条件を立てる. \\ このことは,\ \bekutoru{AC}=k\bekutoru{AB}\ を満たす実数kが存在しないことから示される. \\4変数になってしまう. \\ そこで,\ 上の解では,\ あらかじめuを消去した形を用いることにした. \\ 4変数連立方程式を解く自信があり,\ 記述で楽したいならuを用いて書けばよい. \\ また,\ \bekutoru{OA}=s\bekutoru{OB}+t\bekutoru{OC}+u\bekutoru{OP}\ などとして条件を立てることもできる. \\ しかし,\ u\bekutoru{OP}=(xu,\ 8u,\ u)\ となり,\ 2変数の積が表れるので,\ 本問では避けたい. \\ 条件を全て成分で表せば,\ 後は連立方程式を解くだけである. \\ 空間では,\ 成分を縦に書くのが見やすくオススメである(大学ではこれが普通). \\  3点A,\ B,\ Cは一直線上にないから,\ 点Pが平面ABC上にある条件は \\[.2zh] 別解は,\ 2つ目の表現を用いたものである. \\ \bekutoru{AP},\ \bekutoru{AB},\ \bekutoru{AC}\ を求める必要があり,\ 本問ではやや回りくどい. \\ 上に示した解は一見簡潔だが,\ 実際には次の計算をしている. \\