定積分ではなく不定積分でした(;>_<;)

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∫1/√(x^2+1)dx ∫√(x^2+1)dx
特殊な置換積分\maru3:$\bm{\ruizyoukon{x^2+a^2}\ を含む定積分}$}}}} \\\\[.5zh] これらは,\ 高校数学で登場する中で最高難度の積分パターンである. \\[.2zh] 次のような特殊な置換をすると求めることができる.両辺を2乗すると\ つまり,\ [1]と[2]は実質同じ置換である. の一種とみなせば,\ x=\tan\theta\ とおくことも自然である. \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ ただし,\ この置換は計算量が膨大になるので本パターンに対しては実戦的ではない. \\\\
ところで,\ \bm{[1]~[5]の置換の発想の根拠}は何なのだろうか. \\[.2zh] \ruizyoukon{1-x^2}\ に対しては,\ x=\sin\theta\ という置換が有効であった. \\[.2zh] y=\ruizyoukon{1-x^2}\ の両辺を2乗して整理すると x^2+y^2=1\ \ (y\geqq0) \\[.2zh] これは円(の上半分)であり,\ その\bm{媒介変数表示}として\ (x,\ y)=(\cos\theta,\ \sin\theta)\ がある. \\[.2zh] そこに,\ x=\cos\theta\ とおく発想の根拠があるのである(実際にはx=\sin\theta\,のほうが楽). \\[1zh] 同様に,\ y=\ruizyoukon{x^2+1}\ の両辺を2乗して整理すると \bm{x^2-y^2=-\,1\ \ (y\geqq0)} \\[.2zh] これは2次曲線で学習する\bm{双曲線}(の上半分)である.\ 双曲線の主な媒介変数表示は3つある. \\[1zh] 高校生にとって最も重要な媒介変数表示は,\ \bm{(x,\ y)=\left(\tan\theta,\ \bunsuu{1}{\cos\theta}\right)}である. \\[.6zh] 実際,\ x^2-y^2=\tan^2\theta-\bunsuu{1}{\cos^2\theta}=-\,1\,が成立する. 
これが[5]の置換の根拠であるが,\ 先に述べたように実戦で使うのは推奨されない. \
連立すると 
この媒介変数表示が,\ [1],\ [2]の置換の根拠である.\ y\geqq0\ のとき,\ t>0\,である. \\[1zh] 大学では,\ \bm{双曲線関数}\ \sinh \theta=\bunsuu{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2},\ \ \cosh\theta=\bunsuu{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}\ を学習する. \\[.6zh] \sinh \theta\,は,\ ハイパーボリックサイン(hyperbolic\,;双曲的)と呼ばれる関数である. \\[.2zh] 双曲線関数の性質は,\ 三角関数(円関数)と似ている(e^{\theta}\,の形で計算してみると容易に証明できる). \\[.2zh] 例えば,\ \bm{(\sinh \theta)^2-(\cosh \theta)^2=-1,\ \ (\sinh \theta)’=\cosh \theta}\ である. \\[.2zh] これは,\ 双曲線\ x^2-y^2=-1\ の媒介変数表示が次であることを意味する. \\[.2zh] これが,\ [3],\ [4]の置換の根拠である.\ 大学生ならば,\ 統一的に計算できる. \\[.2zh] 高校生でも\ x=\bunsuu{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}\ とおくことで,\ 大学生と同様の計算が可能になるのである.
高校生にとって\bm{最も標準的な置換で,\ なおかつ簡潔に済む}ので,\ 暗記しておくべきである. \\[.2zh] 微分では\ (\ruizyoukon x)’=\bunsuu{1}{2\ruizyoukon x}\ を公式として利用した. であるから,\ 絶対値ははずれる.
置換により,\ \bunsuu{1}{\cos\theta}\ の積分に帰着する.\ 分母分子に\,\cos\theta\,を掛け,\ 微分形接触型f(\sin\theta)\cos\theta\,に変形する. \\[.6zh] \sin\theta=t\,とおくと\,\cos\theta\,d\theta=dt,\ \ 分母が因数分解できるので部分分数分解する.
\bm{部分積分し,\ 約分できるように分割した後に整理すると,\ (1)の積分に帰着する.} \\[.2zh] 高校生にとって基本としておくべき解法である. \\[.2zh] (1)の積分結果が必要なことを考慮しても,\ 他の解法よりは簡潔に済む.
(1)では楽だったこの置換も,\ (2)では簡単ではない.\ うまくxに戻すには適切な変形が必要になる. を最後に使用することになる.
これと,\ e^t-e^{-t}=2x\ を最後に使用することになる.
面倒なので取り上げなかったが,\ $x=\tan\theta$とおくとさらに2倍以上の計算が必要になる. \\[.2zh] 以上を全て踏まえると,\ \textbf{\textcolor{blue}{公式として暗記}}しておくのが最強である.
ついでに,\ 負の場合も含めて公式として暗記してしまおう. \\[.2zh] 覚えにくい公式は,\ 試験直前に確認して試験開始直後に余白に書く方法もある(合法カンニング). \\[.2zh] なお,\ x+\ruizyoukon{x^2-a^2}\,は正とは限らないので絶対値をつけておく. \\[.2zh] 公式として覚えておけば,\ いざという場合には以下のような解答が可能になる.