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∫1/(x^2+4)dx ∫1/(x^3+1)dx ∫1/(x^2-2x+4)dx ∫1/(1+x^2)^2dx
次の定積分を計算せよ.{特殊な置換積分\maru2:$\bm{\bunsuu{1}{x^2+a^2}\ を含む定積分}$}}}} \\\\[.5zh] これらの不定積分は(高校範囲では)求めることができない. \\[.2zh] しかし,\ 定積分ならば特殊な置換をすることで求めることができる. \\[.2zh] $\bm{\textcolor{blue}{\bunsuu{1}{x^2+a^2}\ を含む定積分}}は,\ \bm{\textcolor{red}{x=a\tan{\theta}}}\ とおいて\bm{\textcolor{red}{置換積分}}する.$ \\[.4zh] \textbf{\textcolor{magenta}{置換によって積分区間が変わる}}ことも忘れないようにしよう.
途中,\ 三角関数の相互関係\ 1+\tan^2\theta=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}\ を用いる.\ 最終的に定数の定積分に帰着する.
は,\ 分母を平方完成すると\ \dint{}{}\bunsuu{1}{x^2+a^2}\,dx\,型の定積分に帰着する.}} \\\\
正確には,\ \dint{}{}\bunsuu{1}{x^2+ax+b}\,dx\,型の積分は以下の3パターンに分類される. \\[1zh] f(x)=x^2+ax+b\,とし,\ f(x)=0の判別式をDとする. \\[.5zh] \maru1\ \ \bm{D>0}\ のとき,\ \bm{\bunsuu{1}{(x-\alpha)(x-\beta)}\ (\alpha\neqq\beta)\,と因数分解できるから,\ 部分分数分解}する. \\[.8zh] \maru2\ \ \bm{D=0}\ のとき,\ \bm{\bunsuu{1}{(x-\alpha)^2}\ となるから,\ \dint{}{}\bunsuu{dx}{x^2}=-\bunsuu1x+C\ の1次式置換型}である. \\[1.3zh] \maru3\ \ \bm{D<0}\ のとき,\ \bm{\bunsuu{1}{(x-p)^2+q}\ と平方完成し,\ x-p=\ruizyoukon{q}\tan\theta\ と置換}する. \\[1zh] \ \ このとき,\ 高校範囲では不定積分はできず,\ 定積分のみ可能である.
本問も\,\bunsuu{1}{x^2+a^2}\,を含むから\,x=a\tan\theta\,と置換する. \\[1zh] 結局,\ \dint{}{}\bunsuu{1}{(x^2+a^2)^\alpha}\,dx\ は\ \dint{}{}\cos^{2\alpha-2}\theta\,d\theta\ に帰着する. \\[1zh] \cos^2\theta\,は,\ 2倍角の公式\,\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\,を逆に用いて次数を下げるのであった.
高校数学で登場する有名な積分の中で最も難易度の高いものの1つである. \\[.2zh] シンプルな問題の中に,\ 部分分数分解,\ 微分形接触型への変形,\ \bunsuu{1}{x^2+a^2}\,型の積分が凝縮されている. \\[1zh] とりあえず分母が因数分解できるので,\ \bm{部分分数分解}する. \\[.2zh] このとき,\ 分母が2次式の項は分子が1次以下の式となる(定数とは限らない)ことに注意する. \\[.5zh] \bunsuu{1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\bunsuu{A}{x+1}+\bunsuu{Bx+C}{x^2-x+1}\ とおいて分母をはらうと \\[1zh] x=-1としてA=\bunsuu13,\ \ x=0としてC=\bunsuu23,\ \ x=1としてB=-\bunsuu13\ を得る. \\[1zh] 第1項は1次式置換型なので問題ないとして,\ 問題は第2項の\ \dint{0}{1}\bunsuu{x-2}{x^2-x+1}\,dx\ である. \\[1zh] これは,\ \bm{\textcolor{blue}{分子が分母の微分型ができるように無理矢理変形する}}のがポイントである. \\[.2zh] つまり,\ 分子に無理矢理(x^2-x+1)’=2x-1を作った後に分割する. \\[.2zh] このとき,\ x-2=(2x-1)-(x+1)\,のように新たなxの項を持ち出してしまっては意味がない. \\[.2zh] 右のように係数で調整するのが正解である. x-2=\bunsuu12(2x-4)=\bunsuu12\{(2x-1)-3\} \\[.8zh] 結局,\ \bm{分子が分母の微分型と\,\bunsuu{1}{x^2+ax+b}\,型の定積分に帰着する.} \\\\
ここで,\ \bunsuu{(2次以上の式)}{x^2+ax+b}\ 型の一般的な積分方法を考えてみよう. \\[.8zh] まず分子の次数下げにより,\ 必ず\ \bunsuu{px+q}{x^2+ax+b}\ 型に帰着する. \\[.8zh] さらにこの型は,\ 次のように分子が分母の微分型と\,\bunsuu{1}{x^2+ax+b}\,型に帰着させることができる.
\bunsuu{1}{x^2+ax+b}\,型は,\ (2)で述べたように3パターンのいずれかである. \\[1zh] 以上から,\ \bunsuu{(2次以上の式)}{x^2+ax+b}\,型は,\ 分子がどんな式であれ原理的には積分できることがわかる. \\\\
分子が分母の微分型に変形することを見越し,\ 次のように設定して部分分数分解すると後が楽である. \\[.5zh] \bunsuu{1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\bunsuu{A}{x+1}+\bunsuu{B(2x-1)+C}{x^2-x+1}\ とおいて分母をはらうと \\[1zh] 1=A(x^2-x+1)+\{B(2x-1)+C\}(x+1) \\[.2zh] x=-1としてA=\bunsuu13,\ \ x=\bunsuu12\ としてC=\bunsuu12,\ \ x=0としてB=-\bunsuu16\ を得る.
最後に大学生用の不定積分の公式を紹介しておく. \
意義と意味を理解できる上級者用である.\ 普通の高校生は混乱するだけなので無視して欲しい. \\[1zh] \text{\scalebox{0.97}[1]{$y=\tan x\left(-\bunsuu{\pi}{2}<x<\bunsuu{\pi}{2}\right)の逆関数を逆正接関数(アークタンジェント)といい,\ x=\arctan yと表す.$}} \\[1zh] 例えば,