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∫x(2x+3)^4dx ∫x^3(x^2-1)^4dx ∫2x^3/(x^2+1)^2dx ∫x(2x+1)^3dx
次の積分を置換積分を用いて計算せよ.$
}{置換積分}}}} \\\\[.5zh] 置換積分の手順自体は,\ 大まかにはほぼ1パターンなので難しくはない. \\[.2zh] とかく重要なのは,\ そもそも\textbf{\textcolor{red}{「何を置換すればよいのか」}}という1点に尽きる. \\[.2zh] 置換にはいくつかの目安があるので,\ 1つずつ習得していってほしい. \\[.2zh] ただし,\ 常にわかりやすい目安があるとは限らない. \\[.2zh] 成功するかがわからなくても,\ \textbf{\textcolor{ForestGreen}{とりあえず置換してみようという姿勢}}は重要である. \\\\\\
(1)\ \ $\textcolor{red}{2x+3=t}\ とおくと \textcolor{red}{x=\bunsuu{t-3}{2}}$ \ \ \hspace{.2zw}{\small $[\textcolor{BrickRed}{x=に変形する}]$}tで微分してdxとdtの関係を出す}]$} 代入する{tのみの式になるので,\ 整理していく}]$} \\[.6zh] \phantom{ (1)\ \ }$  =\bunsuu14\dint{}{}(t^5-3t^4)\,dt$    \,\,{\small $[\textcolor{BrickRed}{係数はさっさと前に出し,\ 展開後にtで積分}]$}d}{先を見据えて因数分解する方向で変形する}]$} \\tを忘れずにxに戻す}]$} \\[.6zh] \phantom{ (1)\ \ }$  =\bm{\bunsuu{1}{120}(2x+3)^5(10x-3)+C}$
本問は展開して求めることもできるが,\ 大変だし応用性もない. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{blue}{指数が大きい方の因数が1つの項になる}}よう,\ \bm{2x+3=t}と置換する. \\[.2zh] 後は,\ x=として代入し,\ tのみ式にしてしまえばよい. \\[.2zh] このとき,\ \bm{\textcolor{blue}{dxもdtに変換しなければならない.}} \\[.2zh] そのために,\ \bm{x=の式の両辺をtで微分してdxとdtの関係を求める.} \\[.2zh] これでtのみの式になるので,\ tの積分として計算し,\ \bm{最後忘れずにxに戻す.} \\[.2zh] \bm{あらかじめ因数分解してからxに戻すと計算が楽になる}点も確認しておいてほしい. \\[.2zh] なお,\ \dint{}{}x(ax+b)^n\,dx\ は置換積分よりも重要な解法が2つあり,\ 後で取り上げる.
(2)\ \ $\textcolor{red}{x^2-1=t}\ とおくと 2で微分してdxとdtの関係を出す}]$}{dx=にはせず,\ 変形をここでとどめる}]$} 係数はさっさと前に出す}]$因数分解の方向で{xに戻すのを忘れない}] (1)と同様の発想で,\ \bm{x^2-1=t}\ と置換する. \\[.2zh] 置換した後\ x=にしようとすると,\ x=\pm\ruizyoukon{t+1}\ となり,\ 根号や\pm がついて処理が面倒になる. \\[.2zh] 実は,\ 本問はx=にせずとも計算できるタイプである. \\[.2zh] まず,\ \bm{\textcolor{blue}{dxとdtの関係は,\ t=の式のまま両辺をxで微分する}}ことで求められる. \\[.2zh] そして,\ dx=にせずにxはxでまとめ,\ xdx=\bunsuu12dt\ としておく. \\[.6zh] 問題をよくみるとxを1個分離して\ x\cdot x^2(x^2-1)^4\,dx\ とできる. \\[.2zh] そこで,\ このうちのxdxを\ \bunsuu12dt\ で置換する. \\[.6zh] 残りが\ x^2\ のみの式になるので,\ x^2=t+1\ を用いてtの式に変形できる. \\[.2zh] 後は(1)と同様に計算していけばよい. \\[.2zh] 仮に\
本問の解法は,\ 初学者には巧妙に思えるかもしれない. \\[.2zh] しかし,\ 後に学習する考え方(微分形接触型)を習得すると自然にできるので安心してほしい. \\[.2zh] ここでは,\ このようなタイプの置換積分もあるということさえ認識しておいてもらえればよい.
{分母が1つの項なら分割する}分母が1つの項になる}}よう,\ \bm{x^2+1=t}\ と置換する.  x^2=t-1 \\[.2zh] x^2=t\ でも積分できるのだが,\ \bm{\textcolor{blue}{定数項もまとめて置換する}}ほうが簡単になることが多い. \\[.2zh] 特に本問の場合,\ どちらを置換するかで後の計算量や難度に雲泥の差がある. \\[.2zh] また,\ 本問にも(2)と同様の背景があり,\ (2)と同じようにしてtの式に変形できる. \\[.2zh] 最後は公式\ \dint{}{}\bunsuu1x\,dx=\log\zettaiti x+C,\ \ \dint{}{}\bunsuu{1}{x^2}\,dx=-\bunsuu1x+C\ を適用する. \\[.8zh] \bm{中身が常に正ならば,\ 対数の真数部分の絶対値ははずす}のが普通である. \\[.2zh] xの値によらず,\ 常に\ x^2+1>0\ である.
(積分変数をtにした瞬間,\ 積分区間も変わる 定積分において置換積分する場合,\ 積分区間も変わる}}点が最大のポイントである. \\[.2zh] 2x+1=tより,\ x=0のときt=1,\ x=1のときt=3である.\ 後は普通に積分すればよい. \\[.2zh] 不定積分の場合とは異なり,\ 最後にxに戻すといったことは必要なくなる. \\[.2zh] とにかく\bm{積分区間の変更を忘れるミスが尋常ではないほど多発する}ので注意してほしい. \\[.2zh] なお,\ 3^4=3^2\cdot3^2=9\cdot9=81,\ \ 3^5=3^2\cdot3^2\cdot3=9\cdot9\cdot3=81\cdot3=243\ と計算すると速い. \\[.2zh] また,\ \bm{分数の和・差は分母が同じものをまとめて先に計算する.}
次のように計算するのもよい.\ ベストは2つ目の別解の方法だが,\ 正しい理解がなければ危険である.