検索用コード
∫√(1+cosx)dx、∫√(1-cosx)dx、∫√(1+sinx)dx、∫√(1-sinx)dx
次の積分を計算せよ.半角の公式\ \sin^2\bunsuu x2=\bunsuu{1-\cos x}{2},\ \ \cos^2\bunsuu x2=\bunsuu{1+\cos x}{2}\ の逆を適用する.}} \\[.8zh] すると,\ \bm{根号をはずすことができて1次式置換型に帰着する.}\ これが正攻法である. \\[.2zh] このとき,\ \bm{\ruizyoukon{X^2}=\zettaiti X}\ であり,\ \ruizyoukon{X^2}=X\ ではないことに注意する. \\[.2zh] よって,\ 根号をはずした後,\ さらに絶対値もはずさなければならない. \\[.2zh] 絶対値の基本通り,\ \bm{絶対値の中身が正ならばそのまま,\ 負ならマイナスをつけてはずす.} \\[.2zh] ただし,\ 積分では同時に\bm{積分区間を分割する}必要があることに注意する. \\[.2zh] 本問では,\ 0\leqq x\leqq\pi\ のとき\ 0\leqq\bunsuu x2\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ より\cos\bunsuu x2\geqq0\ であるから,\ 絶対値はそのままはずせる. とする\bm{誤り}が多いので注意. \\\\
別解1では,\ \bm{\textcolor{blue}{分母分子に\ \ruizyoukon{1-\cos x}\ を掛けて無理矢理微分形接触型に変形する.}} \\[.2zh] 0\leqq x\leqq\pi\,のとき\sin x\geqq0であるから,\ 絶対値はそのままはずせる. \\[.2zh] 微分形接触型なので1-\cos x=t\,とおいても積分できるが,\ \bm{根号丸ごと置換}するのが楽である. \\[.2zh] 合成関数の微分\ \bunsuu{df(t)}{dx}=\bunsuu{df(t)}{dt}\cdot\bunsuu{dt}{dx}\ より,\ 1-\cos x=t^2\ の両辺をxで微分すると
なお,\ 定積分において置換積分する場合,\ \bm{積分区間が変わる}ことを忘れてはならない.
1\pm\sin x\,には,\ このままでは半角の公式が適用できない. \\[.2zh] そこで,\ \cos\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-x\right)=\sin x\,を逆に用いて\,\sin\,を\,\cos\,に変換してから適用する. であるから,\ 絶対値はそのままはずせる. \\\\
1\pm\sin xについては,\ 別解1のような方法で根号をはずすこともできる. \\[.2zh] 2倍角の公式より
よって,\ 絶対値はそのままはずせる. \\[1zh] 別解2において,\
よって,\ \bm{絶対値をはずすときは積分区間を分割しなければならない.}
絶対値はそのままはずせる. \ マイナスをつけてはずす\,の正負はこのままでは判断できない. (三角関数の合成)