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∫1/(1+cosx)dx ∫1/(1-cosx)dx ∫1/(1+sinx)dx ∫1/(1-sinx)dx
次の積分を計算せよ.
通常は別解1が正攻法とされるが,\ 圧倒的に簡潔なのは本解である. \\[.2zh] \bm{\textcolor{blue}{1\pm\cos xに半角の公式\ \sin^2\bunsuu x2=\bunsuu{1-\cos x}{2},\ \ \cos^2\bunsuu x2=\bunsuu{1+\cos x}{2}\ の逆を適用する.}} \\[.8zh] すると,\ 1次式置換型に帰着する.  \dint{}{}\bunsuu{1}{\cos^2x}\,dx=\tan x+C  \dint{}{}\bunsuu{1}{\sin^2x}\,dx=-\bunsuu{1}{\tan x}+C \\\\
別解1では,\ \bm{\textcolor{blue}{分母分子に\ 1-\cos x\ を掛けて無理矢理微分形接触型に変形する.}} \\[.2zh] 正確には,\ \sin^2x+\cos^2x=1を利用して\bm{分母を1つの項にした後に分割}する. \\[.2zh] すると,\ 第1項が公式,\ 第2項が微分形接触型となる. \\[.2zh] この解法を用いると,\ \bunsuu{1}{1\pm\cos x},\ \bunsuu{1}{1\pm\sin x}\ の4積分が全く同じ考え方で解ける. \\[.8zh] 本解よりも面倒ではあるが,\ 汎用性が高いので習得しておくべき解法である. \\[.6zh] \dint{}{}\bunsuu{1}{t^2}\,dt=-\bunsuu1t+C\ は公式である.\ また,\ 変形すると本解と一致する.
ここで,\ 2倍角の公式を用いて\
別解2では,\ \bm{\tan\bunsuu x2=t\,と置換して有理関数に帰着させる.}
1\pm\sin xには,\ このままでは半角の公式の逆が適用できない. \\[.2zh] そこで,\ \cos\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-x\right)=\sin x\ を逆に用いて\,\sin\,を\,\cos\,に変換してから適用する. \\\\
加法定理
ここで,\ 2倍角の公式\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x\ を逆に用いた.
別解1のようにして1次式置換型に帰着させることもできる. \\[.2zh] まず,\ 2倍角の公式を\,\sin x\,に適用して\ \bm{\sin x=\sin\hspace{-.2zw}\left(2\cdot\bunsuu x2\right)=2\sin\bunsuu x2\cos\bunsuu x2}\ とする. \\[.8zh] そして,\ \bm{1=\sin^2\bunsuu x2+\cos^2\bunsuu x2}\,と考えることで因数分解して2乗の形にできる. \\[.2zh] さらに,\ \bm{三角関数の合成}により\ \sin\bunsuu x2+\cos\bunsuu x2=\ruizyoukon2\sin\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu x2+\bunsuu{\pi}{4}\right)とすると1次式置換型である. \\\\