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∫1/sinxdx ∫1/cosxdx
次の積分を計算せよ. 三角関数の積分\maru5:$\bm{\bunsuu{1}{\sin x},\ \bunsuu{1}{\cos x}}$\,の積分
通常は別解1が正攻法とされ,\ 問題集などでもその解法のみが示される. \\[.2zh] 問題が単純な割に微分形接触型,\ 部分分数分解,\ 1次式置換型などが総合的に問われる. \\[.2zh] ただし,\ \bm{圧倒的に簡潔なのは本解}である.\ かなり技巧的ではあるが,\ 是非とも習得してほしい. \\[1zh] 本解では,\ \bm{\textcolor{blue}{\sin x=\sin\hspace{-.2zw}\left(2\cdot\bunsuu x2\right)\ とみなし,\ 2倍角の公式\ \sin2x=2\sin x\cos xを適用する.}} \\[.8zh] さらに,\ \bm{\textcolor{blue}{分母分子を\,2\cos^2\bunsuu x2\,で割ることで分子が分母の微分型に帰着する.}} \\[.6zh] ここでは丁寧に示したが,\ 慣れれば最低限の記述で瞬殺すればよい. \\[1zh] 別解1では,\ \bm{\textcolor{blue}{分母分子に\,\sin x\,を掛けて無理矢理微分形接触型に変形する.}} \\[.2zh] 分子に\sin xが1個できるから,\ 分母を\cos xのみで表すと微分形接触型f(\cos x)\sin xとなる. \\[.2zh] さらに,\ 分母が因数分解できるので\bm{部分分数分解}する. \\[.2zh] \bunsuu{1}{(1-t)(1+t)}=\bunsuu{A}{1-t}+\bunsuu{B}{1+t}\ とおいて分母をはらうと \\[.6zh] 1=A(1+t)+B(1-t)   t=1とすると\ A=\bunsuu12, t=-1とすると\ B=\bunsuu12 \\[.6zh] \dint{}{}\bunsuu{dt}{1-t}=-\log\zettaiti{1-t}+C\ (1次式置換型)\ では,\ \bm{-を忘れない}ように注意. \\[1zh] -1\leqq\cos x\leqq1より,\ 1\pm\cos x\geqq0である. \\[.2zh] また,\ (問題の分母)=\sin x\neqq0より,\ x\neqq n\pi\,(n:整数)である. \\[.2zh] よって,\ \cos x\neqq\pm1より,\ 1\pm\cos x>0であるから絶対値ははずせる. \\[1.5zh] 別解2では,\ \bm{\tan\bunsuu x2=t\,と置換して有理関数に帰着させる.} \\[.6zh] 一見すると簡潔に見えるが,\ \sin xやdxを導くのは面倒である(結果を暗記していれば話は別).
別解3は,\ 本解の別ルートである. \\[.2zh] \bunsuu{1}{\sin x\cos x}\,型の積分では,\ 分子の1を\sin^2x+\cos^2x\,とみなすのが有効であった. \\[.6zh] 同様に,\ \bm{分子の1を\,\sin^2\bunsuu x2+\cos^2\bunsuu x2\,として分割すると,\ 分子が分母の微分型に帰着する.} \\[2zh] 半角の公式\
\cos\hspace{-.2zw}\left(2\cdot\bunsuu x2\right)と考えても(1)と同様には積分できない. \\[.8zh] そこで,\ \sin\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-x\right)=\cos xを逆に用いて\cos\,を\sin\,に変換する. \\[.8zh] \bunsuu{\pi}{2}-x=2\left(\bunsuu{\pi}{4}-\bunsuu x2\right)と考えると,\ 後は(1)と同じである.x}\,dx=\bm{\log\zettaiti{\tan\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu x2+\bunsuu{\pi}{4}\right)}+C}\ となる. \\\\[.5zh] 別解1では,\ \bm{\textcolor{blue}{分母分子に\,\cos x\,を掛けて無理矢理微分形接触型に変形する.}} \\[.2zh] 分子に\cos xが1個できるから,\ 分母を\sin xのみで表すと微分形接触型f(\sin x)\cos xとなる. \\[.2zh] -1\leqq\sin x\leqq1より,\ 1\pm\sin x\geqq0である. \\[.2zh] また,\ (問題の分母)=\cos x\neqq0より,\ x\neqq \bunsuu{\pi}{2}+n\pi\,(n:整数)である. \\[.6zh] よって,\ \sin x\neqq\pm1より,\ 1\pm\sin x>0であるから絶対値ははずせる. \\[1.5zh] 別解2の方針では,\ (1)ほど簡潔にはならない.\ 別解1と同様に部分分数分解する必要が生じる. \\[1zh] 別解3は,\ (1)の結果を利用するものである\,dxの一方が既知ならば,\ x=\bunsuu{\pi}{2}-t\,とおけば他方も求まる.}} \\[.8zh] 一般に,\ }が成り立つからである. \\[.8zh] 最後,\ t=\bunsuu{\pi}{2}-x\,を代入してxの式に戻す.
加法定理\ \