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∫1/(1-cos^2x)dx ∫(tanx+1)cosxdx ∫tanxdx ∫1/tanxdx ∫tan^2xdx ∫1/tan^2xdx ∫1/sin^2xcos^2xdx ∫1/sinxcosxdx ∫sin^2x/(1+cosx)dx
次の積分を計算せよ.
三角関数の積分\maru1:三角関数の相互関係}}}} \\\\[.5zh] 三角関数の積分はかなり厄介である.\ 様々な公式があり,\ 多彩な変形が可能だからである. \\[.2zh] その都度適切に変形し,\ 積分できる形に変形することが必要になる(別解が多いともいえる). \\[1zh] ここでは,\ 最も基本的な公式である\textbf{\textcolor{magenta}{三角関数の相互関係}}を利用するものを取り上げる. \\\\
\maru1~\maru3は数\text{I}のときから慣れ親しんできているものだが,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}では\maru4も必要である. \\[.2zh] このとき,\ 公式を丸暗記するのではなく,\ 導き方を理解しておくことが重要である. \\[.2zh] そもそも,\ \maru4は数\text{I}の時点で\maru3とセットで覚えておくことが推奨される. \\[.2zh] \maru3と\maru4は,\ \maru1と\maru2から同様にして導かれるからである. \
(1)\ \ \sin^2x+\cos^2x=1\,を利用すると,\ 基本的な積分公式に帰着する. \\[1zh] (2)\ \ \bm{\textcolor{blue}{\tan xはとりあえず\,\bunsuu{\sin x}{\cos x}\,にしてみる}}とよい.\ 展開すると公式である. \\[1zh] (3),\ (4)\ \ \tan x=\bunsuu{\sin x}{\cos x}\ を用いると,\ \bm{\textcolor{blue}{「分子が分母の微分型」}}に帰着する. \\[1zh] (5),\ (6)\ \ 1+\tan^2x=\bunsuu{1}{\cos^2x},\ \ 1+\bunsuu{1}{\tan^2x}=\bunsuu{1}{\sin^2x}\ を用いると,\ 基本的な積分公式に帰着する. \\[1zh] \phantom{(5),\ (6)\ \ }パターンとして覚えていなければ,\ この変形は思い浮かばないかもしれない. \\[.2zh] \phantom{(5),\ (6)\ \ }\tan^2x=\bunsuu{\sin^2x}{\cos^2x}=\bunsuu{1-\cos^2x}{\cos^2x}=\bunsuu{1}{\cos^2x}-1\ などとすることも可能である. \\[1zh] \phantom{(5),\ (6)\ \ }いずれにしても,\ (3)~(6)は紛らわしい上によく問われるので要確認である. \\[1zh] (7),\ (8)\ \ 三角関数の積分では,\ \bm{\textcolor{blue}{1を逆に\sin^2x+\cos^2x\,とみなす}}とうまくいくものがたまにある. \\[.2zh] \phantom{(5),\ (6)\ \ }その後分割すると,\ (7)は基本公式,\ (8)は「分子が分母の微分型」に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(5),\ (6)\ \ }これ以外の解法も後に取り上げるが,\ 簡潔に済むこの考え方を是非習得しておいて欲しい. \\[1zh] (9)\ \ \sin^2x\,が1+\cos xや1-\cos xと約分できる(相性がよい)ことは常に認識しておく必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ もちろん,\ 同様に\,\cos^2x\,は1\pm\sin xと約分できる(相性がよい). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 別解は,\ \bm{\textcolor{blue}{分母分子に1-\cos xを掛けることで,\ 分母を1つの項にする}}という変形である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1\pm\sin x\,や\,1\pm\cos xとそのペアを組み合わせるという発想は後に再び必要になる.