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∫e^(-x)sin2xdx ∫e^(-x)cos2xdx
次の積分を計算せよ.
{部分積分法\maru5}}}}$\bm{公式 \dint{}{}\textcolor{cyan}{f(x)}\textcolor{magenta}{g'(x)}\,dx=\textcolor{red}{f(x)g(x)-\dint{}{}f'(x)g(x)\,dx}}$}}} \\\\\\
最後に扱うのは,\ $\bm{\textcolor{blue}{(指数関数)\times(三角関数)型}}$(\textcolor{blue}{$\bm{e^{mx}\sin nx,\ \ e^{mx}\cos nx}$})である. \\[.2zh] この型は特殊で,$e^{mx}$}を微分形とみて2回部分積分すると同型が出現する}}ことを利用する. {1回目の部分積分{2回目の部分積分}]}{同型出現}]積分定数をつける
(1)の解法が基本であるが,\ この型には強力な別解があるのでここで紹介する. \\[.2zh] \bm{\textcolor{blue}{e^{mx}\sin nx\,と\,e^{mx}\cos nx\,をペアで考え,\ 微分から逆算する.}} \\[.2zh] この方法で,\ \bm{(1)と(2)の両方を一気に積分計算なしで求める}ことができる. \\[1zh] 最初の微分は,\ \bm{積の微分\ \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\ を用いている. \\[.2zh] 次に,\ e^{-x}\sin2x,\ e^{-x}\cos2x\ の一方を消去するように連立する. \\[.2zh] e^{-x}\sin2x=,\ e^{-x}\cos2x=\,と変形し,\ 両辺を積分すればよい.