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∫x^2logxdx ∫logxdx ∫log(x+1)dx ∫√xlogxdx ∫logx/x^2dx ∫(logx)^3dx
次の積分を計算せよ.
部分積分法\maru4}公式 \dint{}{}\textcolor{cyan}{f(x)}\textcolor{magenta}{g'(x)}\,dx=\textcolor{red}{f(x)g(x)-\dint{}{}f'(x)g(x)\,dx}}$}}} \\\\\\
今回扱うのは,\ $\bm{\textcolor{blue}{(多項式)\times(対数関数)型}}$(\textcolor{blue}{$\bm{x^m(\log x)^n}$})である. \\[.2zh] この型は,\ $他の型とは逆に\,\bm{\textcolor{magenta}{x^m\ を微分形とみなす.}}$ \\[.2zh] $\bm{\textcolor{cyan}{(\log{x})^n\ を微分して\ n(\log x)^{n-1}\cdot\bunsuu1x\ にしていく}}ことになり,\ 簡単な積分に帰着する.$ \\\\
なお,\ \ $\bm{\textcolor{blue}{\dint{}{}\log x\,dx=x\log x-x+C}}$\ \ は公式として暗記しておくこと.\ 証明は(2). \
x^2\ を微分形とみなして部分積分する. \\[.2zh] 第2項では,\ 微分形とみなさなかった\,\log x\,を微分する.\ もちろん,\ (\log x)’=\bunsuu1x\ である. \\[.2zh] 約分でき,\ 簡単な積分に帰着する.
\log x\,は2つの関数の積ではないので,\ 部分積分とは関係がないように思える. \\[.2zh] しかし,\ \bm{\textcolor{blue}{\log\,単独の積分は,\ 1\times\log と考えて部分積分する}}という定石がある. \\[.2zh] 先にも述べたが,\ この結果は公式として暗記しておき,\ 応用問題では積極的に使用する.
\log 単独の積分であるから,\ \bm{1\cdot\log(x+1)\ と考えて部分積分}する. \\[.2zh] \bm{\textcolor{blue}{1を微分形とみなすとき,\ 後で約分することを見越し,\,(x)’\,ではなく\,(x+1)’\,とする.}} \\[.2zh] (x)’\,とすると別解のようになり,\ \bunsuu{x}{x+1}=\bunsuu{(x+1)-1}{x+1}=1-\bunsuu{1}{x+1}\ の変形が必要になる. \\[.8zh] これは,\ 分数関数の積分で取り上げる\bm{「分子の次数下げ」}という変形である. \\[.2zh] \dint{}{}\bunsuu{1}{x+1}\,dx\ は,\ \dint{}{}\bunsuu1x=\log\zettaiti{x}+C\ の1次式置換型である. \\[.8zh] ただし,\ 問題が\,\log(x+1)\,であるからx+1>0と考えてよく,\ 絶対値ははずすことができる. \\[1zh] 本問は,\ \bm{公式\ \dint{}{}\log x\,dx=x\log x-x+C\ を使うと,\ 1次式置換型として瞬殺できる}(別解2). \\[.8zh] 一見答えが違うように見えるが,\ 定数を\,-1+C=C’\,とすると実質同じである. \\[.2zh] 積分では,\ 定数分の誤差を気にする必要はないのである.
根号だが指数表示にすると結局は\ x^\frac12\log x\ であるから,\ (1)と同様に部分積分できる. \\[.2zh] \ は公式だが,\ 忘れても とできる.
{分数だが指数表示にすると結局は\ x^{-2}\log x\ であるから,\ (1)と同様に部分積分できる.} \\[1zh] 本問と形は類似しているが,\ \textbf{\textcolor{magenta}{部分積分ではないものに注意する}}. \\[1zh] x^m(\log x)^n\ において,\ 特に\bm{\textcolor{red}{m=-\,1}}のとき,\ \bm{\textcolor{blue}{「微分形接触累乗型」}}となる. {m=-\,1のときだけ}}は,\ (\log x)’=\bunsuu1x\ が接触しているから\bm{\textcolor{blue}{微分形接触型}}として扱うのである.
2回目の部分積分}],と考えて部分積分する. \\[.2zh] 部分積分を繰り返すときに毎回全体を書くと,\ 無駄に時間を浪費し,\ ミスのリスクも増える. \\[.2zh] 解答のように,\ \bm{積分する部分だけを取り出し,\ 一旦別に計算する}とよい. \\[.2zh] \dint{}{}\log x\,dx=x\log x-x+C\ を公式として覚えていない場合,\ 3回も部分積分する羽目になる. \\[.8zh] 記述の工夫と公式の暗記がいかに大事かを示す問題である.