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∫xsinxdx ∫(3x-1)cos2xdx ∫x^2sin(x/2)dx ∫x/cos^2xdx
次の積分を計算せよ.
部分積分法\maru3}}}{$\bm{公式 \dint{}{}\textcolor{cyan}{f(x)}\textcolor{magenta}{g'(x)}\,dx=\textcolor{red}{f(x)g(x)-\dint{}{}f'(x)g(x)\,dx}}$}}} \\\\\\
今回扱うのは,\ $\bm{\textcolor{blue}{(多項式)\times(三角関数)型}}$(\textcolor{blue}{$\bm{x^m\sin nx,\ \ x^m\cos nx}$})である. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{\sin nx,\ \cos nx}$\,を微分形とみなし}},\ $\bm{\textcolor{cyan}{x^n\,を微分して次数を下げ}},\ 簡単な積分に帰着させる.$
\dint{}{}\sin x\,dx=-\cos x+C\ (公式)\ より,\ \sin x=(-\cos x)’\ とできる. \\[1zh] もちろん,\ \dint{}{}\cos x=\sin x+C\ (公式)\ である.
3x-1は展開せずに1つの関数とみて部分積分する. \\[.2zh] \dint{}{}\cos2x\,dx=\bunsuu12\sin2x+C\ (1次式置換型)\ より,\ \cos2x=\left(\bunsuu12\sin2x\right)’\ とできる.
多項式が2次式の場合,\ 部分積分を2回繰り返す必要がある. (1次式置換型)
公式)\ より,\ これも部分積分の問題である. tanx log(cosx) \\と考えると,\ \bm{「分子が分母の微分型」}に帰着する. \\[.8zh] よって,\ 公式\ \dint{}{}\bunsuu{f'(x)}{f(x)}\,dx=\log\zettaiti{f(x)}+C\ を適用できる.