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∫1/(1+e^x)dx ∫e^x/(1+e^x)dx ∫xe^x/(1+e^x)dx
f(x)=\bunsuu{1}{1+e^x}$の導関数$f'(x)$を求めよ. \\[1.2zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $\dint{}{}\bunsuu{xe^x}{(1+e^x)^2}\,dx$を求めよ.                  [南山大・改] 難易度の高い積分の問題では微分の誘導がつくことがある. \\[.2zh] ただし,\ f'(x)を求めた後で単純に\,\dint{}{}f'(x)\,dx\ を求めさせるというのでは出題する意味がない. \\[1zh] 実際には,\ f'(x)が関係し,\ それをうまく利用するタイプの積分計算が出題される. \\[.2zh] ずばり\bm{部分積分と微分形接触型}である.\ これらの積分では以下のようにf'(x)が関係してくる. \\[1zh] \maru1\ \ 部分積分 \bm{\dint{}{}f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\dint{}{}f(x)g'(x)\,dx} \\[1zh] \maru2\ \ 微分形接触型(基本) \bm{\dint{}{}g(f(x))f'(x)\,dx=\dint{}{}g(t)\,dt} \\[1zh] \maru3\ \ 分子が分母の微分型 \ \bm{\dint{}{}\bunsuu{f'(x)}{f(x)}\,dx=\log\zettaiti{f(x)}+C} \\[1zh] \maru4\ \ 微分形接触累乗型  \ \bm{\dint{}{}\{f(x)\}^\alpha f'(x)\,dx=\bunsuu{\{f(x)\}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C} \\\\
(2)は実質的に\ \dint{}{}xf'(x)\,dx\ を計算する問題である. \\[1zh] g(x)=xと考えると,\ あからさまに部分積分の適用を示唆している. \\[.2zh] 具体的な関数に変換するのは最後にして,\ \bm{f'(x),\ f(x)のまま公式を適用することに慣れたい.} \\[.2zh] 結局,\ \dint{}{}f(x)\,dx\ の積分に帰着する. \\[1zh] \bunsuu{1}{1+e^x}=\bunsuu{(1+e^x)-e^x}{1+e^x}=1-\bunsuu{e^x}{1+e^x}\ として分子が分母の微分型に帰着させるのであった.
関数f(x)=2\log(1+e^x)-x-\log2$を考える. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 等式$\log f”(x)=-f(x)$が成り立つことを示せ. \\[1.2zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 定積分$\dint{0}{\log2}(x-\log2)e^{-f(x)}\,dx$を求めよ.           [大阪大] (2)\ \ (1)の等式と-f(x)が共通しているから,\ これを\log f”(x)に変換してみる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 次に,\ \bm{a^{\log_aM}=M}\ の変形をできるかが重要である.\ つまり,\ e^{\log f”(x)}=f”(x)\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この関係は対数の定義\ a^p=M\ \Longleftrightarrow\ p=\log_aM\ の別の形であるが,\ 認知度がかなり低い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}では忘れた頃に登場するのでよく確認しておいてほしい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後はg(x)=x-\log2と考えて部分積分すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \dint{}{}f'(x)\,dx=f(x)+C\ も考慮すると,\ 結局直接的な積分計算は全くせずに済む. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 定積分$\dint{0}{\log7}f(x)\,dx$を求めよ. \\[1.2zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 等式$f'(x)=f(x)-\{f(x)\}^2$が成り立つことを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 定積分$\dint{0}{\log7}\{f(x)\}^2\,dx$を求めよ. \\[1.3zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 定積分$\dint{0}{\log7}\{f(x)\}^3\,dx$を求めよ.           [福岡教育大・改] (1)\ \ 分子が分母の微分型である.\ また,\ e^{\log7}=7\,である. \\[1zh] (3)\ \ (2)より\ \{f(x)\}^2=f(x)-f'(x)\ \cdots\cdots\maru1\ であることを利用する. \\[1zh] (4)\ \ \{f(x)\}^3\ を作るために\maru1の両辺にf(x)を掛けると,\ (3)と\ \dint{}{}f(x)f'(x)\,dx\ に帰着する. \\[1zh] \phantom{(4)}\ \ これは\bm{微分形接触累乗型\ \dint{}{}\{f(x)\}^\alpha f'(x)\,dx=\bunsuu{\{f(x)\}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C}\ の\ \alpha=1\ の場合である. \\[1zh] \phantom{(4)}\ \ 部分積分\ \dint{}{}f'(x)g(x)\,dx\ と似ているが別物なので注意してほしい.