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∫x(x^2+1)^5dx ∫cos^4xsinxdx ∫e^x√(e^x+2)dx ∫x^2/(x^3+2)^4dx ∫tan^3x/cos^2x ∫1/x^2(1+1/x)^2dx ∫(1-sinx)^3cosx ∫(√x+1)^5/√xdx ∫1/(tan^2xsin^2x)dx ∫1/(x(logx+1)^3)dx ∫3^x/√(3^x-1)dx ∫{f(x)}^nf'(x)dx
の積分を計算せよ. \
微分形接触累乗型}
$f'(x)$が接触しているから,\ これは微分形接触型である. \\[.5zh] よって,\ 次のように置換して計算することができる と酷似しているから,\ 公式として使えそうである.$ \\\\\\
{微分形$\bm{f'(x)}$が接触した$\bm{\{f(x)\}^\alpha}$型関数の積分法}} \\[.5zh] $\bm{公式同じ要領で計算}}し,\ \textbf{\textcolor{blue}{瞬殺}}する
\end{tabular}}}} \\\\\\
当サイトでは,\ この型の積分を「微分形接触累乗型」と呼ぶことにする. \\[.2zh] なお,\ $\alpha=-\,1$のときは$\dint{}{}\bunsuu{f'(x)}{f(x)}\,dx$となるから,\ これは「分子が分母の微分型」である.    係数を調整する}]$}
(1)\ \ 係数を調整すると微分形接触累乗型となるから,\ \dint{}{}x^5\,dx=\bunsuu16x^6+C\ と同様に計算する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 置換積分する別解と比較すると,\ 公式適用の簡潔さがわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 定積分で置換する場合は積分区間の変更も必要になるのでさらに面倒になる. \\[1zh] (3)\ \ 累乗根であるが,\ 指数表記にすると結局は\ \{f(x)\}^\alpha f'(x)\ 型の積分である. \\[.2zh] と同様に計算する.\ まとまりがよいので指数表記のまま答えておく.
}次の積分を計算せよ.
{微分形が分数になる場合,\ 一気に微分形接触累乗型に気付きにくくなる.}} \\[.2zh] 最悪微分形接触型にさえ気付ければ置換積分で計算できるので,\ 常に次を意識しておこう. \
(1)\ \ \bm{分母の累乗をマイナス乗と考える}と,\ \{f(x)\}^\alpha f'(x)\ 型の積分である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 係数を調整した後,と同様に計算する. と同様に計算する. \\[1.5zh] (8)\ \ (3^x-1)’=3^x\log3\ に注意し,\ 係数を調整する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ と同様に計算する.