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∫(x-α)(x-β)dx -1/6(β-α)^3 ∫(x-α)^2(x-β)dx -1/12(β-α)^4 ∫(x-α)^2(x-β)^2dx 1/30(β-α)^5 ∫(x-α)(x-β)(x-γ)dx 1/12(γ-α)^3(2β-α-γ) ∫(x-1)(2x-3)^4dx ∫(2x-6)√(x-2)dx 
次の積分を計算せよ$型の積分}}}} \\\\\\
複数の代表的な解法があるので,\ メリット・デメリットとともに確認していこう. \
まずは\bm{\textcolor{blue}{普通に展開して計算する解法}}である. \\[.2zh] 代入後,\ 共通因数をもつものを組み合わせ,\ 因数分解する方向で整理する. \\[.2zh] 展開する方向で整理してしまうと,\ 最後に簡潔な形にまとめることが非常に難しくなる. \\[.2zh] 他の解法と比較すれば明らかだが,\ 非常に面倒な上に応用性もなく,\ ほぼメリットはない. \\[.2zh] あえてメリットを挙げるならば,\ 文字ではなく数字ならば誰もが容易に計算できる.
別解1は,\ \bm{\textcolor{blue}{x-\alpha\,で展開し,\ 1次式置換型に帰着させる解法}}で,\ \bm{極めて簡潔かつ有効}である. \\[1zh] まず,\ x-\beta\ を無理矢理\,x-\alpha\,の形に変形する.\ x-\alpha\,を作り,\ つじつまを合わせればよい. \\[.2zh] 次に,\ x-\alpha\,を1つのものとみなして展開する.\ これを\bm{x-\alpha\,で展開する}という. \\[.2zh] 結局,\ 1次式置換型\ \dint{}{}(x-\alpha)^n\,dx=\bunsuu{1}{n+1}(x-\alpha)^{n+1}+C\ に帰着する. \\[1zh] \bm{\alpha\,を代入したときにすべて0になる}ということも計算上有利である.
別解2は,\ \bm{\textcolor{blue}{置換積分による解法}}であるが,\ よく観察すると別解1と本質的に同じとわかる. \\[.2zh] x-\alpha\,を1つのものとみなして計算するか,\ =tと置き換えて計算するかの違いでしかない. \\[.2zh] ある意味わかりやすいが,\ 実質的には別解1よりも面倒になっただけなので本解法の必要性は低い.
別解3は,\ \bm{\textcolor{blue}{部分積分による解法}}である. \\[.2zh] (多項式)\times(多項式)型なので,\ 一方を微分形とみて部分積分し,\ 一方の次数を下げていけばよい. \\[.2zh] 次数が低いほうの式を後で微分するために,\ \bm{次数が高いほうの式を微分形とみなす}ことになる. \\[.2zh] ただし,\ 本問は両方の式が同じく1次なので,\ どちらを微分形とみなしてもよい. \\[1zh] 部分積分による解法は,\ 別解1に匹敵する簡潔さがある. \\[.2zh] 一方で,\ 「この程度の積分に部分積分は高級すぎるのではないか」と感じるかもしれない. \\[.2zh] 確かに,\ 本問に限っては部分積分の有り難さはあまり感じられない. \\[.2zh] しかし,\ \bm{部分積分による解法は,\ 他の解法を上回る応用性がある故,\ 最も本質的な解法}といえる. \\[.2zh] つまり,\ (x-\alpha)^m(x-\beta)^n\,で次数m,\ nが大きくなったとき,\ 部分積分以外では対応が困難になる. \\[.2zh] この場合は部分積分して漸化式を作成することになるが,\ 詳細は積分漸化式の項目で取り扱う.
\bm{2乗は,\ x-\alpha\,と\,\beta-\alpha\,をそれぞれ1つのものとみて展開する.} \\[.2zh] 2次式であるから,\ 部分積分する場合は2回繰り返す必要がある(別解1). \\[.2zh] ちなみに,\ \bm{\textcolor{blue}{瞬間部分積分の公式(裏技)}}を用いるとほとんど瞬殺である(別解2). \\[.2zh] ここでは,\ f^0=(x-\beta)^2,\ g^0=(x-\alpha)^2\ として瞬間部分積分した. \\[.2zh] f^0\,は微分を繰り返し(最初だけはそのまま),\ g^0\,は積分を繰り返せばよい. \\[.2zh] 符号が交互に入れ変わることにも注意する.\ \bm{部分積分の高次への応用性の高さが体感できる}だろう.
3つの関数の積となると部分積分しにくいので,\ x-\alpha\,で展開する方針でいく. \\[.2zh] x-\beta,\ x-\gamma\,ともにx-\alpha\,の形に変形し,\ x-\alpha,\ \beta-\alpha,\ \gamma-\alpha\,を1つものとして展開する. \\[1zh] (1)と(2)の結果を既知とするならば,\ 別解の方法も考えられる. \\[.2zh] 通常,\ \bm{\textcolor{blue}{\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3}}\ は公式として積極使用して何ら問題ない. \\[1zh] 一方,\ \bm{\textcolor{blue}{\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx=-\bunsuu{1}{12}(\beta-\alpha)^4}}\ を無断使用してよいかは微妙である.
次の積分を計算せよ
(1)\ \ \bm{2x-3で展開}するため,\ 無理矢理2x-3を作り,\ つじつまを合わせる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ x-1=(2x-3)-(x-2)\ とすると展開時に\ (x-2)(2x-3)^4\ ができてしまう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x-1=\bunsuu12(2x-2)=\bunsuu12\{(2x-3)+1\}\ のように,\ \bm{係数で調整する}と1次式置換型に帰着する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 1次式置換型\ \dint{}{}(ax+b)^n\,dx=\bunsuu{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C\ では,\ \bunsuu1a\,を掛け忘れないように. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 部分積分する場合は,\ 次数の高い(2x-3)^4\,を微分形とみなす. \\[1zh] (2)\ \ \bm{根号であっても指数表示にすると全く同様である.}