座標平面を利用した中線定理の証明

coordinate-plane
ABCにおいて,\ 辺BCの中点をMとする. このとき,\ ${AB²+AC²=2(AM²+BM²)}$\ が成り立つことを示せ.  図形問題において座標平面を利用することの長所と短所が次である. 長所} ひらめきや発想がなくても,\ 機械的計算で答えに辿り着ける.} 短所} 計算量が多くなる.} 短所を差し引いても余りある長所であり,\ 図形問題の最終手段として君臨する.} BCの中点Mは原点} 座標平面上に{ABC}を設定する. このとき,\ {一般性を失わないよう設定}しなければならない. なぜなら,\ 題意は{「あらゆる三角形に対して成立することを示せ」}だからである. 設定に一般性がなければ,\ 特殊な場合を証明したことになり,\ 題意が満たされない. また,\ {後の計算を楽にするために,\ 0が多く,\ 文字が少なくなるよう設定}する. 本問における「一般性」とは,\ 次を意味する. {「どんな三角形でも,\ 文字に適切な数値を代入して作ることができる」} あらゆる三角形は,\ 回転することで,\ 必ず1つの辺をx軸と重ねることができる. よって,\ {底辺をx軸上に設定しても一般性を失わない.} また,\ その{底辺の中点が原点となるよう平行移動しても一般性を失わない.} よって,\ 2つの頂点設定しても一般性を失わない. あらゆる三角形が作れるためには,\ 残りの頂点{A}は自由に動けなければならない. よって,\ {x座標もy座標も文字で(a,\ b)と設定し,\ 一般性を失わないようにする.} 例えば,\ {A}(0,\ a)などと設定すると一般性が失われる. なぜなら,\ 点{A}はy軸上しか動けず,\ 二等辺三角形しか作れなくなるからである. 設定さえしてしまえば,\ 長さを2点間の距離の公式で求めて証明するだけである. 本問では,\ 2乗のまま計算していけばよい. (2点(x₁,\ y₁),\ (x₂,\ y₂)の距離の2乗) ちなみに,\ 本問は{中線定理の証明}であった.
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