2直線の平行条件・垂直条件・一致条件

parallel-perpendicular
2直線\ (基本形)}の位置関係平行条件 (一致する場合も含む)    (一般形)}の位置関係}  $[3]$\ ${点(x₁,\ y₁)を通り,\ ax+by+c=0に平行・垂直な直線の方程式  $[4]$\ 2直線の共有点と連立方程式の解の個数     2直線が1点で交わる     ただ1組の解     2直線が平行で一致しない   解なし     2直線が一致する       無数の解 }\ 基本形の平行条件と一致条件は自明.\ {垂直条件は要暗記.} {一般形は平行条件と垂直条件を暗記.} }\ 基本形にすればよいから,\ 一般形の公式は必要ないと考えている人が多い. しかし,\ 一般形で与えられた直線を基本形に変形するのは,\ 普通得策ではない. x+ay=0のように文字を含む場合,\ 安易にy=-1axとできないからである. 正しくは,\ 故に,\ {一般形で与えられた場合,\ 基本形を経由せずに求めることが推奨される.} それを可能にするのが,\ この公式なのである. また,\ 一般形における条件は,\ {ベクトル的観点}からとらえておくとよい. 直線\ ax+by+c=0\ の法線ベクトルの成分は(a,\ b)である. よって,\ それぞれの直線の法線ベクトルは,\ {(a₁,\ b₁),\ (a₂,\ b₂)}\ である. 直線が平行ならば,\ 法線ベクトルも平行であるはずである. よって,\ {a₁:b₁=a₂:b₂}\ より,\ {「a₁b₂-b₁a₂=0」}が成立する. また,\ 直線が垂直ならば,\ 法線ベクトルも垂直であるはずである. よって,\ {内積\ (a₁,\ b₁)(a₂,\ b₂)=0}\ より,\ {「a₁a₂+b₁b₂=0」}が成立する. なお,\ ベクトル分野では,\ 垂直条件を「a₁b₁+a₂b₂=0」と学習する. 一見違って見えるのは,\ 初期設定が違うからである. ベクトル分野の公式は,\ {a=(a₁,\ a₂),\ b=(b₁,\ b₂)\ の垂直条件}である. 公式を適用する際は,\ この{2つを混同しないよう注意}が必要である. 一致条件は,\ {決して「a₁=b₁\ かつ\ a₂=b₂\ かつ\ a₃=b₃」ではない}ので注意! 例えば,\ x+2y-3=0と2x+4y-6=0は同じ直線を表す. [3]}\ 使用する機会は少ないが,\ と同様の理由で,\ 公式として覚えておきたい. 丸暗記は難しいので,\ 式の意味も確認しておく. 直線{ax+by+c=0が原点を通るように平行移動}すると {ax+by=0} これが{点(x₁,\ y₁)を通るよう平行移動}すると {a(x-x₁)+b(y-y₁)=0} {法線ベクトル(a,\ b)に垂直なベクトルは(b,\ -a)}である.[∵\ a b+b(-a)=0] よって,\ {原点を通り,\ ax+by=0に垂直な直線}の方程式は {bx-ay=0} これが{点(x₁,\ y₁)を通るよう平行移動}すると {b(x-x₁)-a(y-y₁)=0} [4]}\ {図形的な交点の個数は,\ 連立方程式の解の個数と一致する.} 故に,\ 平行条件や一致条件は,\ 連立方程式の解の個数を考えるときにも絡んでくる. 2直線の交点と連立1次方程式の解の対応関係は3通り考えられる. いずれも,\ 図形的に考えると自明である. 直線$2x-y+6=0$に平行な直線と垂直な直線の方程   平行な直線の方程式は  垂直な直線の傾きを$m$とする.   垂直な直線の方程式は 公式を用いて,\ 基本形を経由せずに求めるのが理想である. しかし,\ かなり慣れていないと,\ 混乱し間違えるリスクもある. 本問は,\ 文字を含まないから,\ 基本形にしてから求めても問題ない. {基本形から傾きを読み取り,\ 1点を通る直線の方程式}として求めればよい. 点(x₁,\ y₁)を通る傾きmの直線の方程式は 2直線\ $ax+2y+3=0,3x+(a-1)y+a=0$\ が次の条件を満たすとき, 定数$a$の値を求めよ.  \ 2直線が垂直  \ 2直線が平行(一致はしない)  \ 2直線が一致 { }\  \ この2直線は一致しないから,\ 条件を満たす.} { }\  \ この2直線は一致するから,\ 条件を満たさない.} 文字を含み複雑であるため,\ 基本形を経由せずに求めるべきである. 垂直条件は,\ 公式を適用するだけである. 平行条件と一致条件は,\ {まず平行条件(一致も含む)の公式を適用する.} その後,\ {求まった値を元の式に代入し,\ 一致するか否かを確認する.}
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