三角形の重心と外心の座標

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3点${A(1,\ 1),\ B(5,\ 2),\ C(2,\ 4)}について,\ 次を求めよ.$  \ $$ABCの重心Gの座標    $$ABCの外心Oの座標 重心Gの座標公式に代入するだけ 要するに,\ x座標とy座標を別々に,\ 3点の平均を求めればよい. この公式は,\ 重心が{「中点を2:1に内分する点」}であることから導かれる. {(BCの中点Dの座標)=({x₂+x₃}{2},\ {y₂+y₃}{2})} {(ADを2:1に内分する点のx座標)={1 x₁+2{x₂+x₃}{2{2+1}={x₁+x₂+x₃}{3 これが重心のx座標であり,\ y座標も同様にして求められる. 重心は,\ {「3本の中線の交点」}でもあるが,\ それを利用して求めるのは面倒である. 外心の座標を 外心が{「3頂点からの距離が等しい点」}であることを利用する. つまり,\ OA=OB=OC\ である. 実際には,\ 2点間の距離は根号がつくから,\ 最初から2乗した形で適用する. OA²=OB²=OC² (距離は常に正なので2乗しても同値) 実際には,\ {(等式の数)=(等号の数)}であるから,\ 次のように考えて計算する. 「OA²=OB²かつOA²=OC²」 (2変数で2等式なのでx,\ yが定まる) もちろん,\ {「OA²=OB²かつOB²=OC²」}\ としてもよい. 今回は,\ {点Bの座標よりも簡単な点Aの座標を多く用いるほうで計算した.} 一見面倒な計算に見えるが,\ x²とy²は消えるので意外に楽な計算になる. 外心は,\ {「3つの辺の垂直二等分線の交点」}としても得られるが面倒である.
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