数直線上の線分の内分点
数直線上の2点A($a$),\ B($b$)に対し,\ 線分ABを$m:n$に内分する点をP($x$)とする.
)が考えられ,\ 絶対値をつけるとまとめて処理できる.
X= Y\,の絶対値をどのようにはずすかが重要である.
絶対値は,\ 中身が正ならばそのまま,\ 負ならば-をつけてはずすのであった.
以上から,\, X= Y\,はXとYが同符号ならばX=Y,\ 異符号ならば-X=Y}となるとわかる.
結局,\ abのときも内分点の座標を求める公式は同じになる.
絶対値の扱いを難しく感じるならば,\ 単の場合に分けて求めれば済む.
数直線上の線分の外分点
数直線上の2点A($a$),\ B($b$)に対し,\ 線分ABを$m:n$に外分する点をQ($x$)とする.
まず,\ 外分点を図示できるようにしておく必要がある.
線分AB}をm:nに内分}する点は,\ 線分AB}の内側でA}からm,\ B}からnにある点}である.
線分AB}をm:nに\dot{外}分}する点は,\ 線分AB}の\dot{外}側でA}からm,\ B}からnにある点}である. 外分点が線分の端点のどちら側にあるかが変わる.}
ゆえに,\ aとb,\ mとnの大小関係により,\ a,\ b,\ xの大小関係は4パターン考えられる.
どの場合もx-aとb-xが異符号になる}ことを確認してほしい.
外分点の公式は,\ 内分点の公式のnを-nに変えたもの}となっている.
これは,\ 「m:nに外分」を「m:-\,nに内分」とみることもできることを意味する.
座標平面上の2点A($x_1,\ y_1}$),\ B($x_2,\ y_2}$)を$m:n}$に内分する点Pの座標中点の座標
点A,\ B,\ P}からx軸に下ろした垂線の足をA’,\ B’,\ P’}とする.
このとき,\ 点P’}は線分A’B’}をm:nに内分する.
△ APP”∽ ABB”}より,\ AP:PB=AP”:P”B”=A’P’:P’B’}\,だからである.
y軸についても同様であるから,\ 結局x座標とy座標を別々に求めればよい.
座標平面上の2点A($x_1,\ y_1}$),\ B($x_2,\ y_2}$)を$m:n}$に外分する点Qの座標
重心G$(x,\ y)$は中線を頂点から$2:1$に内分する点である. }点A$(4,\ 3)$に関して,\ 点P$(2,\ 1)$と対称な点Qの座標を求めよ. \\
点に関する対称点は,\ 対称点を文字で設定し,\ 次を利用して求める.点Aに関して点Pと点Qが対称}」\ {点Aが線分PQの中点}」\ {対称な点Qの座標を$(x,\ y)$}とおく. の二等分線と直線ABとの交点Pの座標を求めよ.
$∠$AOBの二等分線と直線ABの交点を\
平面図形で学習した「角の二等分線と辺の比の関係」}を用いる.
△ OAB}において,\ 角の二等分線と辺の比の関係は,\ AP:PB=OA:OB\ となるのであった.
線分OAの長さとOBの長さの比を求め,\ 線分ABをその比に内分する点の座標を求めればよい.
角の二等分線の方程式を求めた後に直線AB}との交点を求めてもよいが面倒である.
