線分ACの長さは
直線ACの方程式は
点B$(2,\ 4)}$から直線ACに下ろした垂線の長さは
三角形の面積は,\ 様々な方法で求められる.
数 Iの三角比で学習したS=12ab\sinθ\ は,\ 最も使用頻度が高い三角形の面積公式である.
しかし,\ 3点の座標が与えられた場合,\ この面積公式を利用するには以下の過程を経る必要がある.
3点の座標\ →\ 3辺の長さ\ →\ 余弦定理で\cos \ →\ \sin^2θ+\cos^2θ=1で\,\sin\ →\ S=12ab\sinθ
回りくどくなるので,\ 本項では座標平面を利用する方法を示す.
底辺の長さを2点間の距離の公式で,\ 高さを点と直線の距離の公式で求めればよい.
2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離 √{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2
点(x_0,\ y_0)と直線ax+by+c=0の距離 ax_0+by_0+c{√{a^2+b^2
以上の方法は,\ 自然ではあるがまだ回りくどい.
点を文字で設定して同じ過程を辿ると,\ 3点の座標から面積を瞬時に求める公式が導かれる.
3点O(0,\ 0),\ A$(x_1,\ y_1)$,\ B$(x_2,\ y_2)$}を頂点とする三角形の面積を$S$とする.
線分OAの長さは $√{{x_1}^2+{y_1}^2$
直線OAの方程式は $y_1x-x_1y=0}$
点B$(x_2,\ y_2)}$から直線OAに下ろした垂線の長さは\
点Cが原点となるように平行移動すると
1点が原点の三角形の面積公式さえ作成しておけば,\ 実用上十分である.
1点が原点となるように平行移動してから適用すれば済む}からである.
直線OA}の方程式は,\ y軸に平行でないとき,\ y=y_1}{x_1}x\,である.
x_1=0のときA}(x_1,\ y_1)=(0,\ y_1)\ (y_1≠0)より,\ 直線OA}の方程式はx=0\ (y軸)となる.
分母をはらったy_1x-x_1y=0の形ならば,\ 「\,x_1=0のときx=0\,」もまとめて表すことができる.
分子はy_1x_2-x_1y_2\,のままでもよいが,\ x_1y_2-x_2y_1\,としておくのが普通である.
絶対値がついているから,\ 中身の正負を逆にしてもよい.\ \ -\,A}= A\,である.
長方形CDEF}-(△ ACD+△ ABE+△ BCF})}$
