放物線$y=x^2$上に$∠POQ=90°}$を満たす3点O$(0,\ 0)$,\ P$(p,\ p^2)\ (p>0)$,\ Q$(q,\ q^2)$を\ 直線PQが必ず通る定点を求めよ.
(2)\ \ $△$OPQの面積$S$の最小値を求めよ. \\
% (3)\ \ 線分PQの長さ$L$の最小値を求めよ. \\
放物線上の3点でできる直角三角形の面積の最小 \\
(1)\ \ $p≠0,\ q≠0$より,\ 直線OP,\ OQの方程式は $y=px,\ \ y=qx$
2直線OP,\ OQの垂直条件は $pq=-\,1}$
直線PQの方程式は $y-p^2=q^2-p^2}{q-p}(x-p)\ (p≠ q)$\ より $y=(p+q)x-pq{直線PQは点(0,\ 1)を必ず通る.
直線OP,\ OQ}はy軸に平行な直線ではないから,\ y=ax+bの形で表せる.
2直線y=mx+n,\ y=m’x+n’\,の垂直条件 mm’=-\,1}
2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 y-y_1=y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\ \ (x_1≠ x_2)
p,\ qの値によらず必ず通る定点を求めるには,\ p,\ qについての恒等式}と考えるのであった.
x(p+q)+(1-y)=0の係数を比較}すると,\ x=0\ かつ\ 1-y=0である.
本問の場合,\ 恒等式と考えずとも,\ y=(p+q)x+1より瞬時にy切片が常に1であることがわかる.
相加平均と相乗平均の大小関係}より $p=1$のとき等号が成立}する
3点O(0,\ 0),\ A(x_1,\ y_1),\ B(x_2,\ y_2)}を頂点とする三角形の面積 12x_1y_2-x_2y_1
垂直条件を用いてqを消去すると,\ p+1p\,の最小値を求めることに帰着する.
○+1}{○}\,の形の式の最小値を求めるとき,\ 相加平均と相乗平均の大小関係の利用が有効}であった.
a>0,\ b>0}のとき a+b≧2√{ab (a=bのとき等号成立})
必ず前提条件a>0,\ b>0を確認したうえで適用する.
また,\ 相加相乗で最大・最小を求めるとき,\ 等号成立条件の確認が必須}なのであった.
「\,2以上」は「最小値2\,」を意味しないからである.\ 仮に「最小値3\,」でも,\ それは「\,2以上」である.
「\,2以上\ かつ\ =2になる実数pが存在する」}で初めて「最小値2\,」が確定する.
2点O}とA}(x_1,\ y_1)の距離√{{x_1}^2+{y_1}^2}\,を用いてゴリ押ししようとすると,\ 巧妙な変形が必要になる.
直線PQ}とy軸の交点の座標が既知ならば,\ y軸で分割して中学生的に求めるのが最も簡潔である. \\
p=1のときq=-\,1より,\ P(1,\ 1),\ Q(-\,1,\ 1)}であるから,\ y軸に関して対称な直角三角形}となる.
ある図形量が最大・最小となるのは,\ その図形が対称な形になるときであることが多い.}
よって,\ 答えを求めるだけならば,\ 中学生的に面積を求めれば済む.
邪道だが,\ 図形の最大・最小問題で正攻法がわからないとき,\ これを最終手段にするとよい.
つまり,\ 最悪図形が対称になるときの値だけでも求めておくと,\ 部分点をもらえる可能性が残る.}
