tetrahedron-volume-ratio

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6\bekutoru{PA}+3\bekutoru{PB}+4\bekutoru{PC}+5\bekutoru{PD}=\bekutoru*0\ を満たす四面体\mathRM{ABCD}と点\mathRM{P}がある.$ \\[1zh]  (1)\ 点Pはどのような位置にあるか. \\[.5zh]  (2)\ 4つの四面体PBCD,\ PCDA,\ PDAB,\ PABCの体積比を求めよ. \\  平面の$a\bekutoru{PA}+b\bekutoru{PB}+c\bekutoru{PC}=\bekutoru*0$を満たす点Pの位置問題と同様に考える. \\  \textbf{\textcolor{red}{始点をAに統一}}して\bekutoru{AP}を求め,\ 無理矢理\textbf{\textcolor{cyan}{内分点の公式の形}}に変形する. \\  これで,\ \textbf{\textcolor{purple}{PがAから見てどんな位置にあるか}}が求まる. \\\\ 始点を\mathRM{A}に統一するために,\ 差に分解する.内分点の公式の形に変形する. \\ \bm{分母に4+3をおき,\ つじつまを合わせるために7(=4+3)を掛ける.} \\ 内分点を\mathRM{E}とし,\ 同じことをもう一度行えば,\ \mathRM{P}の位置が求まる. 四面体ABCDの体積を$V$とする. \\[1zh] 全体をVとおき,\ 線分の比をもとに,\ 各体積をVで表し,\ 体積比を求める. \\ Vの底面を\mathRM{\triangle BCD},\ 高さを\mathRM{AF}として,\ 底面積の比と高さの比を両方考慮する. \\ \bm{底面積が等しい四面体の体積比は,\ 高さの比に等しい.} \\ また,\ \bm{高さが等しい四面体の体積比は,\ 底面積の比に等しい.} \\ \mathRM{ABCDとPBCDの比は,\ 底面積BCDが等しいから,\ 高さの比ですぐ求まる.} \\ 本解は,\ \mathRM{PCDA\ →\ ABCD}の流れで求めたスマートな記述である. \\ 実際には,\ 無理せず,\ \bm{底面積の比と高さの比を別々に求める}とよい. \\ \mathRM{PCDAの底面積を\triangle FCD,\ 高さをAPと考える.} \\ また,\ 高さについて,\ \mathRM{AP:AF=2:3} \\ 結局,\ \bm{\mathRM{ABCDと比較し,\ PCDA}の底面積は\ \bunsuu14,\ 高さは\ \bunsuu23}\ となる. \\[.5zh] したがって,\ \mathRM{(四面体PCDA)=\bunsuu14\cdot\bunsuu23(四面体ABCD)}=\bunsuu16V \\ 他の体積も同様に考えていけばよい. \\ なお,\ 平面と同様,\ a\bekutoru{PA}+b\bekutoru{PB}+c\bekutoru{PC}+d\bekutoru{PD}=\bekutoru*0\ のとき \\ \mathRM{\bm{PBCD:PCDA:PDAB:PABC=a:b:c:d}}\ となる(暗記推奨).