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平面に下ろした垂線の足」}}は,\ \textbf{\textcolor{blue}{「直線と平面の垂直条件」}}を用いて求める. \\[.2zh] \textbf{「直線と平面の垂直条件」}は,\ \textbf{\textcolor{red}{「平面上の任意の2直線と垂直」}}である. \\\\
「1直線と垂直」だけでは「平面と垂直」が保証されない(左下図). \\[.2zh] 「2直線と垂直」ならば,\ 「平面と垂直」が保証される(右下図). \\[-1zh] 空間ベクトルの問題では,\ 以下のように考えて条件を立式する. \\[1zh] (1)\ \ 点Hは平面ABC上にあるから,\ $s,\ t,\ u$を実数とすると \\[.2zh] \mathRM{H}は\bm{「平面\mathRM{ABC}上にある」かつ「直線\mathRM{OH}と平面\mathRM{ABC}が垂直」}の2条件で定まる点である. \\[.2zh] まず,\ 点\mathRM{H}が平面\mathRM{ABC}上にある条件を実数s,\ t,\ uを用いて立式する. \\[.2zh] 次に,\ 直線\mathRM{OHと平面ABC}の垂直条件を立式する.\ 当然,\ ベクトルでは\bm{垂直\ →\ 内積0}である. \\[.2zh] これを展開し,,の値を代入後にs+t+u=1と連立する. \\[.2zh] 内積の値は定義\,\bekutoru*a\cdot\bekutoru*b=\zettaiti{\bekutoru*a}\zettaiti{\bekutoru*b}\cos\theta\,で求める.\ 各面は正三角形なので,\ なす角は60\Deg\,である. \\[1zh] 平面では,\ 三角形が\ \zettaiti{\bekutoru*a},\ \zettaiti{\bekutoru*b},\ \bekutoru*a\cdot\bekutoru*b\ の3要素によってただ1つに定まる. \\[.2zh] 内積にはなす角の情報が含まれており,\ 2辺の長さとその間の角が与えられたことになるからである. \\[.2zh] 空間では,\ \bm{四面体が\ の6要素によってただ1つに定まる.} \\[.2zh] よって,\ 空間図形の計量をベクトルで行う場合,\ 原則的にはこの6要素の値が必要になる. \\[1zh] 体積を求めるには,\ 垂線の長さ(垂線ベクトルの大きさ)が必要である. \\[.2zh] \zettaiti{\bekutoru{OH}}\,を一旦2乗し,\ 公式\ \bm{(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\ を用いて展開する. \\[.2zh] 正三角形の底面積は,\ 三角比を用いた面積公式により直ちに求められる. \\[1zh] 実は,\ 本問は正四面体なので,\ 対称性を利用すると簡潔に済む. \\[.2zh] 対称性より頂点から下ろした垂線の足は底面の重心なので,\ 計算せずとも\,\bekutoru{OH}=\bunsuu{\bekutoru*a+\bekutoru*b+\bekutoru*c}{3}\,である. \\[.4zh] ここでは,\ どんな四面体に対しても通用する解法を示したわけである.
\bm{座標空間上の四面体の体積}を求めるパターン問題である. \\[.2zh] 本問の場合,\ 明らかに頂点を\mathRM{O},\ 底面を\mathRM{ABC}と考えるべきである. \\[.2zh] ベクトルの始点が\mathRM{O}となり,\ 座標\text A(0,\ -\,1,\ 2)と成分\,\bekutoru{OA}=(0,\ -\,1,\ 2)が一致するからである. \\[.2zh] 3変数s,\ t,\ uを用いて立式してもよいが,\ ここではuを消去した形で\ \bekutoru{OH}\ を設定した. \\[1zh] 後は\,\bekutoru{OH},\ \bekutoru{AB},\ \bekutoru{AC}\ を成分表示し,\ 内積0を立式すればよい.
底面積は,\ \bm{三角形の面積のベクトル表示}(要暗記)を用いて求める.
途中までベクトルのまま計算することもできるが,\ どうせ成分にするなら最初にしておいた方がよい.
前問と全く同じである.\ 成分に0が多いので,\ uを用いた形で設定している. \\[.2zh] 連立方程式は,\ t=\bunsuu s4,\ u=\bunsuu s9\,としてs+t+u=1に代入してsを求めるとよい. \\[1.2zh] (2)は三角形の面積のベクトル表示でも求められるが,\ ここでは\bm{体積を2通りに表す}方法で求めた. \\[.2zh] 垂線\mathRM{OH}の長さは,\ \ruizyoukon{\left(\bunsuu{36}{49}\right)^2+\left(\bunsuu{18}{49}\right)^2+\left(\bunsuu{12}{49}\right)^2}\ などとしてしまうと計算が地獄である. \\[.7zh] \bekutoru{OH}=\bunsuu{6}{49}\left(6,\ 3,\ 2\right)\ に着目すると,\ \zettaiti{\bekutoru{OH}}^2=\left(\bunsuu{6}{49}\right)^2(6^2+3^2+2^2)\,となる. \\[.8zh] よって,\ \zettaiti{\bekutoru{OH}}=\bunsuu{6}{49}\ruizyoukon{6^2+3^2+2^2}\ の計算で済む. \\[1.2zh] なお,\ 本問の\bm{3点\mathRM{A,\ B,\ C}は座標軸上の点であるから図示が容易}である. \\[.2zh] 空間座標の問題は正確な図示が難しい場合が多いが,\ 容易な場合には積極的に図示すべきである.