tetrahedron-volume

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「平面に下ろした垂線の足」}}は,\ \textbf{\textcolor{blue}{「直線と平面の垂直条件」}}を用いて求める. \\  \textbf{「直線と平面の垂直条件」}は,\ \textbf{\textcolor{red}{「平面上の任意の2直線と垂直」}}である. \\\\  「1直線と垂直」だけでは「平面と垂直」が保証されない(左下図). \\  「2直線と垂直」ならば,\ 「平面と垂直」が保証される(右下図). \\[-1zh]  空間ベクトルの問題では,\ 次のように考えて条件を立式する. \\[.5zh] \hspace{.5zw}1辺の長さが2の正四面体OABCにおいて,\ 頂点\mathRM{O}から平面\mathRM{ABC}に \\[.2zh] \hspace{.5zw}下ろした垂線の足をH. \\[1zh] .   (2)\ 体積$V$を求めよ. \\ 点\mathRM{H}は\bm{「平面\mathRM{ABC}上にある」「直線\mathRM{OH}と平面\mathRM{ABC}が垂直」}の2条件で定まる. \\ まず,\ 平面上にある条件から,\ \bekutoru{OH}\ を実数s,\ t,\ uを用いて設定する. \\ この\ \bekutoru{OH}\ を用いて,\ 垂直条件を立式する. \\ 基本ベクトルの大きさと内積の値を代入して連立すると,\ \bekutoru{OH}\ が求まる. \\ 内積の値は定義から求める.  (平面と同じ) \\ 三角形は,\ の3要素で決定した. \\ \bm{四面体は,\ 6要素で決定する.} \\ よって,\ 空間図形の計量をベクトルで行う場合,\ 原則この6要素の値が必要になる. \\ 本問は,\ 正四面体であるから,\ 大きさと内積はそれぞれ全てが一致する. \\ 体積を求めるには,\ 垂線の長さ(垂線ベクトルの大きさ)が必要である. \\ \zettaiti{\bekutoru{OH}}\ は,\ 一旦2乗して展開し,\ 内積の値に帰着させる. \\ 3つのベクトルの和を展開するとき,\ 次の展開公式を用いる(要暗記). \\ 展開公式 \bm{(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca} \\ 本問では,\ \bunsuu19\zettaiti{\bekutoru*a+\bekutoru*b+\bekutoru*c}^2\ とすべきだが,\ 一般の場合を考えて丸ごと2乗した. \\ 底面は正三角形であるから,\ 底面積は三角比の公式により直ちに求まる. \hspace{.5zw}4点$\mathRM{O(0,\ 0,\ 0),\ A(0,\ -1,\ 2),\ B(-1,\ 0,\ 5),\ C(1,\ 1,\ 3)}を頂点とする$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}四面体の体積Vを求めよ. \\  頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足をHとすると \\[.2zh] \bm{座標空間上の四面体の体積}を求めるパターン問題である. \\ 自分で基本ベクトルを設定するわけだが,\ 本問の場合の始点は\mathRM{O}しかないだろう. \\ 3変数で設定すると大変そうなので,\ 最初からuを消去した形で\ \bekutoru{OH}\ を設定した. \\ 計算を成分で行っていく以外の手順は全く同じである. \\ ちょっとした工夫により,\ 計算ミスが減り,\ 時間的なゆとりが生じる. \\ 本番で突然できるはずはないので,\ 普段から意識を高めておく必要がある. \\ 底面積は,\ \bm{三角形の面積のベクトル表示}(要暗記)を用いて求める. \\ なお,\ 座標空間上の点が与えられた場合,\ 無理して正確に図示しなくてもよい. \\ 本問でも,\ 4点が四面体を作るイメージさえできていれば,\ 図示する必要すらない. \\ さて,\ 空間の成分は,\ 縦に書くとみやすい.\ 特に,\ 内積はわかりやすい. \\ 原点Oから3点A(1,\ 0,\ 0),\ B(0,\ 2,\ 0),\ C(0,\ 0,\ 3)}を通る平面に下ろ$ \\[0zh] \hspace{.5zw}$した垂線の足を\mathRM{H}とする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ 点Hの座標を求めよ.    (2)\ $\triangle$ABCの面積$S$を求めよ. \\ 点Hは平面ABC上にあるから \\[.2zh] 四面体OABCの体積を$V$$OABを底面} 前問と全く同じである.\ 成分に0が多いので,\ uを用いた形で設定した. \\ 連立方程式は,\ (2)は,\ 三角形の面積のベクトル表示で求めることも可能である. \\ しかし,\ 本問では\bm{体積を2通りに表す}方法で求めよう. \\ 垂線\mathRM{OH}の長さは地獄絵図になる. \\[.5zh] \zettaiti{\bekutoru{OH}}^2=\left(\bunsuu{6}{49}\right)^2(6^2+3^2+2^2)\ であるから,\ 結局\ \bunsuu{6}{49}\ の2乗の計算は必要ない. \\ なお,\ 本問の3点は,\ \bm{座標軸上の点であるから図示が容易}である. \\ このような場合は,\ 積極的に座標空間に図示してみよう.