tetrahedron-proof

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四面体ABCDにおいて,\ 辺AB,\ BC,\ CD,\ DAの中点をE,\ F,\ G, Hとする.} \\[.2zh] \hspace{.5zw}また,\ 線分EGと線分FHの交点をP,\ $\triangle$BCDの重心をQとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ 四角形EFGHが平行四辺形となることを示せ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ A,\ P,\ Qが一直線上にあることを示せ. \\ 四角形\mathRM{EFGH}は平行四辺形}\ である.$} \\\\ \mathRM{EFGH}が平行四辺形であるための条件は,\ \bm{\bekutoru{EF}=\bekutoru{HG}}\ である(\bm{平面と同じ}). \\ ベクトルにより,\ 1組の辺が平行で,\ かつ大きさが等しい条件を簡潔に表現できる. \\ 始点を任意の点\mathRM{O}とする本解と頂点\mathRM{A}とする別解を示した. \\ 少し表現が異なるだけで,\ 実質同じである. \\ まず,\ 基本となるベクトルを設定する. \\ 始点が\mathRM{O}の場合,\ \mathRM{A(\bekutoru*a),\ B(\bekutoru*b),\ C(\bekutoru*c),\ D(\bekutoru*d)の\bm{4つの位置ベクトルが基本}となる.} \\ 始点が\mathRM{A}の場合,\ \bekutoru{AB},\ \bekutoru{AC},\ \bekutoru{AD}\ の\bm{3つの位置ベクトルが基本}となる. \\ 次に,\ 他の主要な全ての点までの位置ベクトルを基本ベクトルで表す. \\ 中点の位置ベクトルは,\ \bm{平面と同様},\ 2点を足して2で割る. \\ 後は最終目標に向かって機械的に処理していけばよい. \\ 空間図形の証明において,\ ベクトルが圧倒的な威力を発揮する. \\ 本問も,\ 特別な発想を一切必要とせず,\ 平面と全く同様の機械的処理で証明できる.  (2)\ 四角形EFGHは平行四辺形であるから,\ \textcolor{cyan}{2本の対角線は中点で交わる.} \\[.5zh] 重心の位置ベクトル}A,\ P,\ Qは一直線上にある.} \bm{\bekutoru{AQ}=k\bekutoru{AP}\ となる実数kが存在する}が,\ \mathRM{A,\ P,\ Q}が一直線上にある条件である. \\ これは,\ \bm{平面と全く同じ}である. \\ (1)と同様,\ この最終目標に向かって,\ 機械的に処理していけばよい. \\ 点\mathRM{P}の位置ベクトルは,\ 線分\mathRM{EG}の中点として求めた. \\ 重心の位置ベクトルは,\ \bm{平面と同様},\ 3点を足して3で割る. \\ \bekutoru{AQ}=k\bekutoru{AP}\ の形に必ずなるはずだという意識を持ちながら変形していこう. \\ さて,\ \bm{\bekutoru*p=\bunsuu{\bekutoru*a+\bekutoru*b+\bekutoru*c+\bekutoru*d}{4}\ は四面体\mathRM{ABCD}の重心の位置ベクトル}である. \\ また,\ \bekutoru{AQ}=\bunsuu43\bekutoru{AP}\ より,\ \mathRM{AP:PQ}=3:1\ である. \\ 結局,\ \bm{四面体の重心は頂点と底面の重心を結ぶ線分を3:1に内分する点}とわかる.