plane-line-intersection

検索用コード
四面体OABCにおいて$ \\\\ 辺ABの中点をL,\ 辺BCを$3:2$に内分する点をM,\ 線分AMと \\[.2zh] 線分CLの交点をPとするとき,\ \bekutoru{OP}\ を\bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ を用いて表せ. \\[1zh] 辺OCの中点をN,\ 平面ABNと線分OPの交点をQとするとき, \hspace{.5zw}(3)\ 直線CQと平面OABの交点をRとするとき,\ 4点O,\ A, B, Cは同一平面上にない}}}から,\ 係数を比較して \\[.2zh] 交点の位置ベクトルは,\ \bm{平面と同様,\ 2通りに表して係数を比較する}のが基本. \\ \bm{係数の和が1となるよう比を設定}し,\ 内分点の公式で\ \bekutoru{OP}\ を表す. \\ 点\mathRM{Pが線分AM上にある条件と線分CL上にある条件で2通りに表す.} \\ さらに,\ 係数を比較するため,\ 全てのベクトルを\ \bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ で表す. \\ 必ず\bm{下線部の断りを記述}してから,\ 係数比較する. \\ 次は,\ \bm{\bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ が同一平面上にないときに成立}するからである. 下線部は,\ \bm{「\bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ が1次独立であるから」}と記述してもよい. \\ なお,\ 平面では可であった次のような記述は,\ \bm{空間では不可}である. \\ 4点\mathRM{O,\ A,\ B,\ C}が同一平面上にあっても,\ これが成立しうるからである. \\ 実際,\ 平面上に零ベクトルでも平行でもない  (2)\ 点Qは直線OP上の点であるから 点Qは平面ABN上の点}  (2)\ 点Qは直線OP上の点であるから \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ また,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{点Qは平面ABN上の点}であるから \\[.4zh] \phantom{ (1)}\ \textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{4点O,\ A, B, Cは同一平面上にない}}}から,\ 係数を比較して \\[.2zh] 空間ベクトルの最重要事項「平面と直線の交点の位置ベクトル」である. \\ 基本的なのは別解の\bm{2通りに表して係数を比較}する解法である. \\ \mathRM{点Qが直線OP上にある条件と平面ABN上にある条件で2通りに表す.} \\ 全てのベクトルを\ \bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ で表した後,\ 係数を比較する. \\ ここで,\ 4変数s,\ t,\ u,\ kの連立方程式となる. \\ まず,\ s=\bunsuu27k,\ t=\bunsuu27k,\ u=\bunsuu67k\ とし,\ s+t+u=1に代入してkを求める. \\ 後は,\ kをそれぞれに代入して,\ s,\ t,\ uが求まる. \\ 実際には,\ kの値さえ求まれば,\ \bekutoru{OQ}\ が求まったことになる. \\ 4変数になるのを避けたければ,\ \bekutoru{OQ}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}+(1-s-t)\bekutoru{ON}\ と設定する. \\ さて,\ 別解は基本的ではあるが,\ 回りくどいので\bm{非推奨}である. \\ 別解では,\ \bekutoru{OA},\ \bekutoru{OB},\ \bekutoru{OC}\ で表すことを目指した. \\ 一方,\ \bm{\bekutoru{OA},\ \bekutoru{OB},\ \bekutoru{ON}\ で表した後,\ (係数の和)=1で求める}のが本解である. \\ 慣れが必要だが,\ 計算量が少なく簡潔で,\ 応用性も高いため,\ 是非習得して欲しい. \phantom{ (1)}\ ここで,\ \textcolor{red}{平面OAB上の点は,\ \bekutoru*c\ の係数が0}となるから \\[.2zh] 点\mathRM{R}は,\ 線分\mathRM{CQ}の延長線上にある. \\ この2通りの表現の係数比較を行えば,\ \bekutoru{OR}\ が求まる. \\ しかし,\ \bm{\mathRM{平面OAB}上の点は\ \bekutoru*c\ の成分を持たない}ことを利用すると簡潔に済む. \\ 結局,\ \bm{2つの基本ベクトルが張る平面上にある点}は,\ 普通こうして求める.