検索用コード
点A(4,\ 3,\ 5)について,\ 次の点の座標を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}\ \ \begin{tabular}{ll}
(1)\ \ $yz$平面について対称な点B   & (2)\ \ $z$軸について対称な点C \\[.8zh] (3)\ \ 原点について対称な点D & (4)\ \ 点Aから$x$軸に下ろした垂線の足H
{空間座標}}}} \\\\
まず,\ 空間の点を図示できるようにしておかなければならない. \\[.2zh] (4,\ 3,\ 5)ならば,\ まずx軸上にに4,\ y軸上に3,\ z軸上に5をとる. \\[.2zh] 後は軸と平行な線分だけで平行六面体を作れば,\ (4,\ 3,\ 5)をとることができる. \\[1zh] 例えば,\ 平面において点(1,\ 2)とx軸対称な点の座標は(1,\ -\,2)であった. \\[.2zh] つまり,\ x軸対称ならばy座標の正負が逆になる.\ 空間でもほぼ同様である. \\[1zh] 点(x,\ y,\ z)と座標軸,\ 座標平面,\ 原点に関して対称な点の座標は \\[.5zh] \bm{x軸対称 (x,\ -\,y,\ -\,z)    xy平面 (x,\ y,\ -\,z)} \\[.2zh] \bm{y軸対称 (-\,x,\ y,\ -\,z)    yz平面 (-\,x,\ y,\ z)} \\[.2zh] \bm{z軸対称 (-\,x,\ -\,y,\ z)    zx平面 (x,\ -\,y,\ z)} \\[.2zh] \bm{原点対称 (-\,x,\ -\,y,\ -\,z)} \\[1zh] (4)\ \ x軸に下ろした垂線の足は,\ x座標は変わらず,\ x軸上の点なのでy,\ z座標は0である. \\[.2zh] (1)\,~\,(4)は図示せずとも解答できるが,\ 図形的な位置関係も確認しておいてほしい.
3点A(1,\ 2,\ 0),\ B(5, 6, 2),\ C($-\,1$,\ 6,\ $-\,4$)に対し,\ $\triangle$ABCはどのような三角形か. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 2点A(2,\ 1,\ 1),\ B(4,\ 2,\ $-\,2$)から等距離にある$z$軸上の点Pの座標を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 4点O(0,\ 0,\ 0),\ A(4,\ 0,\ 0),\ B(2,\ $-\,4$,\ $-\,2$),\ C(6,\ $-\,2$,\ 8)から等距離にある点Pの \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(3)}\ \ 座標を求めよ.
(1)\ \ 三角形の形状は3辺の長さで決まる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 空間の2点(x_1,\ y_1,\ z_1)と(x_2,\ y_2,\ z_2)間の距離は \ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 根号が鬱陶しいので3辺の長さの2乗を計算すると,\ 直ちに二等辺三角形であることがわかる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ ただし,\ ここで安心してはならず,\ 直角三角形の可能性も探らなければならない. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 直角三角形であるための必要十分条件は,\ 三平方の定理が成り立つことであった. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 最後,\ どの辺とどの辺が等しいか,\ どこの角が直角かまで含めて答える. \\[1zh] (2)\ \ 点\text Pの座標を文字で設定し,\ 等距離となるための条件を立式すればよい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ z軸上の点なので,\ x座標とy座標は0である. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 等距離となるための条件は\mathRM{AP=BP}だが,\ 長さは正なので2乗しても同値である. \\[1zh] (3)\ \ 等式の数は等号の数に等しいから,\ \mathRM{OP^2=AP^2=BP^2=CP^2}\,には3つの式が含まれている. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ ここから計算が楽な3組を抜き出して連立する. \\[.5zh] 本問の点\text Pは,\ 4点\text{O,\ A,\ B,\ C}を頂点とする四面体の外接球の中心である.