検索用コード
四面体OABCにおいて,\ $\bekutoru{OA}=\bekutoru*a,\ \bekutoru{OB}=\bekutoru*b,\ \bekutoru{OC}=\bekutoru*c\ とする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 辺ABの中点をL,\ 辺BCを$3:2$に内分する点をM,\ 線分AMと線分CLの交点を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ Pとするとき,\ \bekutoru{OP}\ を\bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ を用いて表せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 辺OCの中点をN,\ 平面ABNと線分OPの交点をQとするとき, \bekutoru{OQ}を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ \bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*cを用いて表せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 直線CQと平面OABの交点をRとするとき,\ \bekutoru{OR}を\bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c用いて表せ. \\
平面と直線の交点の位置ベクトル
平面ベクトルと同様に,\ \bm{交点の位置ベクトルは2通りに表して係数を比較するのが基本}である. \\[.2zh] \mathRM{Pは線分AM上の点であり,\ かつ線分CL上の点であるから,\ この2条件を数式で表現すればよい.} \\[.2zh] \bm{係数の和が1となるよう比を設定}し,\ 内分点の位置ベクトルの公式で\ \bekutoru{OP}\ を表すのであった. \\[.2zh] さらに,\ 全てのベクトルを\ \bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ で表した後,\ 係数を比較する. \\[.2zh] このとき,\ 必ず\bm{下線部の断りを記述}しなければならない. \\[.2zh] 次は,\ \bm{4点\mathRM{O,\ A,\ B,\ C}が同一平面上にないときに成立する(係数比較できる)}からである. \\[.2zh] \bm{「\,s\bekutoru*a+t\bekutoru*b+u\bekutoru*c=s’\bekutoru*a+t’\bekutoru*b+u’\bekutoru*c\ \Longleftrightarrow\ s=s’,\ t=t’,\ u=u’\,」} \\[.2zh] 下線部は,\ \bm{「\,\bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ が1次独立であるから\,」}と記述してもよい. \\[1zh] なお,\ 平面では「\,\bekutoru*a\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru*b\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru*a\nheikou\bekutoru*b\,」と記述できたが,\ \bm{空間では以下の記述は不可}である.
4点\mathRM{O,\ A,\ B,\ C}が同一平面上にある場合でもこれが成立しうるからである. \\[.2zh] 実際,\ 平面上に零ベクトルでも互いに平行でもない3ベクトル\ \bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*c\ をとることができる.
空間ベクトルの最重要問題「平面と直線の交点の位置ベクトル」である. \\[.2zh] ここでも基本的なのは,\ 別解の\bm{2通りに表して係数を比較}する解法である. \\[.2zh] \mathRM{点Qが直線OP上にある条件と平面ABN上にある条件を数式で表現した後,\ 係数比較する.} \\[.2zh] 4変数連立方程式は,\ s=\bunsuu27k,\,t=\bunsuu27k,\,u=\bunsuu67kをs+t+u=1に代入してまずkを求めるとよい. \\[.6zh] ちなみに,\ \bekutoru{OQ}=\bunsuu{7}{10}\bekutoru{OP}\ より,\ \bm{\mathRM{OQ:QP=7:3}}であることがわかる. \\[1zh] さて,\ 別解は基本的ではあるが回りくどいので\bm{非推奨}である. \\[.2zh] 本解では,\ まず直線\mathRM{OP}上の点であるための条件を立式し,\ これを無理矢理\,\bekutoru{ON}\,を用いて表す. \\[.2zh] すると,\ 後は\bm{(係数の和)=1}とするだけで済むのである. \\[.2zh] 本質的には同じだが,\ 計算量が少なく簡潔で応用性も高いため,\ 是非習得してほしい解法である.
点\mathRM{R}は,\ 線分\mathRM{CQ}の延長線上にある. \\[.2zh] よって,\ 始点が\mathRM{O}のとき,\ \bm{\bekutoru{OR}=\bekutoru{OC}+\bekutoru{CR}=\bekutoru{OC}+k\bekutoru{CQ}}\ と表すことができる. \\[1zh] また,\ 始点が\mathRM{O}ならば,\ 点\mathRM{R}が平面\mathRM{OAB}上にある条件は \bm{\bekutoru{OR}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}=s\bekutoru*a+t\bekutoru*b} \\[.2zh] \bekutoru{OC}+k\bekutoru{CQ}=\bunsuu15k\bekutoru*a+\bunsuu15k\bekutoru*b+\left(1-\bunsuu{7}{10}k\right)\bekutoru*c\,とs\bekutoru*a+t\bekutoru*b\,を係数比較して\ \bekutoru{OR}\ を求めてもよい. \\[.8zh] ただし,\ \bm{\mathRM{平面OAB}上の点ということは,\ 言い換えると\,\bekutoru*c\,の成分を持たない}ということである. \\[.2zh] このことを利用すると,\ 解答のように簡潔に済む.