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高校数学におけるベクトルのメリットの1つは,\ 斜交座標の考えにある. \\[.2zh] この考えにより,\ 一般の三角形を効率的に扱うことが可能になるのであった. \\[1zh] もう1つのメリットとして,\ \textbf{\textcolor{blue}{空間(3次元)に圧倒的に強い}}ことが挙げられる. \\[.2zh] 以下の比較を見ればわかるが,\ \textbf{\textcolor{red}{ベクトルでの表現は平面でも空間でも変わらない}}のである. \\[.2zh] よって,\ 平面ベクトルと空間ベクトルでは,\ 考え方もやることもほとんど変わらない. \\[.2zh] それゆえ,\ 平面ベクトルが習得済みならば,\ 空間ベクトルの習得は容易である. \\[.2zh] ただし,\ \textbf{\textcolor{cyan}{ベクトルを成分表示にすると$\bm{z}$成分が追加される}}ことに注意する. \\\\\\
$[1]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{線分ABの大きさ}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} $\bm{\textcolor{red}{\zettaiti{\bekutoru{AB}}=\zettaiti{\bekutoru{OB}-\bekutoru{OA}}}=\textcolor{cyan}{\ruizyoukon{{(b_1-a_1)}^2+{(b_2-a_2)}^2}}}
$[2]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{内積と垂直条件}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} $\bm{\textcolor{forestgreen}{\bekutoru{OA}\perp\bekutoru{OB}}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\bekutoru{OA}\cdot\bekutoru{OB}=0}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{cyan}{a_1b_1+a_2b_2=0}}$
$[3]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{線分ABの内分点Pと外分点Qの位置ベクトル}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} \scalebox{.9}[1]{$\bm{\textcolor{red}{\bekutoru{OP}=\bunsuu{n\bekutoru{OA}+m\bekutoru{OB}}{m+n}}=\textcolor{cyan}{\left(\bunsuu{na_1+mb_1}{m+n},\ \bunsuu{na_2+mb_2}{m+n}\right)}}$} \\[.5zh] \scalebox{.9}[1]{$\bm{\textcolor{red}{\bekutoru{OQ}=\bunsuu{-\,n\bekutoru{OA}+m\bekutoru{OB}}{m-n}}=\textcolor{cyan}{\left(\bunsuu{-\,na_1+mb_1}{m-n},\ \bunsuu{-\,na_2+mb_2}{m-n}\right)}}$} \\[1zh] $[4]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{三角形ABCの重心Gの位置ベクトル}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} \scalebox{.9}[1]{$\bm{\textcolor{red}{\bekutoru{OG}=\bunsuu{\bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}}{3}}=\textcolor{cyan}{\left(\bunsuu{a_1+b_1+c_1}{3},\ \bunsuu{a_2+b_2+c_2}{3}\right)}}$}
{平行条件(直線ABと直線PQが平行)}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} $\bm{\textcolor{red}{\bekutoru{AB}=k\bekutoru{PQ}\ となる実数kがある}}$
$[6]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{共線条件(3点A,\ B,\ Pが一直線上にある条件)}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} $\bm{\textcolor{red}{\bekutoru{AP}=k\bekutoru{AB}\ となる実数kがある}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}\ \ (s+t=1)}}$
$[7]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{共点条件(3点P,\ Q,\ Rが一致する条件)}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} $\bm{\textcolor{red}{\bekutoru{OP}=\bekutoru{OQ}=\bekutoru{OR}}}$
$[8]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{三角形$\bm{\triangle}$OABの面積$\bm{S}$}}(覚えにくいが覚えておくべき公式) \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} $\bm{\textcolor{red}{S=\bunsuu12\ruizyoukon{\zettaiti{\bekutoru{OA}}^2\zettaiti{\bekutoru{OB}}^2-(\bekutoru{OA}\cdot\bekutoru{OB})^2}}=\textcolor{cyan}{\bunsuu12\zettaiti{a_1b_2-a_2b_1}}
同じような問題では意味がないので,\ 空間ベクトルでは平面と異なる点が問われる. \\[.2zh] 平面ベクトルと空間ベクトルで大きく異なるのが以下の2点である. \\\\
$[9]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{ベクトルの1次結合と1次独立}}($s_1,\ t_1,\ u_1,\ s_2,\ t_2,\ u_2:実数$) \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{平面}} \textbf{\textcolor{forestgreen}{$\bm{\bekutoru{OA},\ \bekutoru{OB}}$が1次独立(3点O,\ A,\ Bが同一直線上にない)}}のとき \\[.5zh] \maru1\ \ $任意ベクトル\,\bekutoru{OP}\,は,\ \bm{\textcolor{red}{\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}\ にただ1通りに表される.}}$ \\[.5zh] \maru2\ \ $\bm{\textcolor{red}{s_1\bekutoru{OA}+t_1\bekutoru{OB}=s_2\bekutoru{OA}+t_2\bekutoru{OB}}}\ \Longleftrightarrow\ \bm{\textcolor{red}{s_1=s_2\ かつ\ t_1=t_2}}$ \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{空間}} \textbf{\textcolor{forestgreen}{$\bm{\bekutoru{OA},\ \bekutoru{OB},\ \bekutoru{OC}}$が1次独立(4点O,\ A,\ B,\ Cが同一平面上にない)}}のとき \\[.5zh] \maru1\ \ \scalebox{.95}[1]{$任意ベクトル\,\bekutoru{OP}\,は,\ \bm{\textcolor{red}{\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}+u\bekutoru{OC}\ にただ1通りに表される.}}$} \\[.5zh] \maru2\ \ $\bm{\textcolor{red}{s_1\bekutoru{OA}+t_1\bekutoru{OB}+u_1\bekutoru{OC}=s_2\bekutoru{OA}+t_2\bekutoru{OB}+u_2\bekutoru{OC}}}$ \\[.2zh] $\Longleftrightarrow\ \bm{\textcolor{red}{s_1=s_2\ かつ\ t_1=t_2\ かつ\ u_1=u_2}}$ \\\\\\
$[10]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{共面条件(4点A,\ B,\ C,\ Pが同一平面上にある条件)}}(空間のみ) \\[1zh] \maru1\ \ $\bm{\textcolor{red}{\bekutoru{AP}=s\bekutoru{AB}+t\bekutoru{AC}\ となる実数s,\ tがある.}}$ \\[.5zh] \maru2\ \ $\bm{\textcolor{red}{\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}+u\bekutoru{OC}\ \ (s+t+u=1)}}$ \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
[9],\ [10]は,\ 平面ベクトルと異なるとは言っても,\ そこまで目新しい話ではない. \\[.2zh] [9]は,\ 斜交座標平面のs軸,\ t軸に加えて,\ 斜交座標空間ではu軸が加わるというだけである. \\[1zh] [10]\maru1は,\ 4点が同一平面上にあるならば,\ 結局平面ベクトルの話で済むことを意味している. \\[.2zh] つまり,\ \bekutoru{AP}\,を2つのベクトル\,\bekutoru{AB},\ \bekutoru{AC}\,の1次結合で表すことができる. \\[.2zh] [10]\maru2は,\ 3点\text{A,\ B,\ P}が同一直線上にある条件\ \bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}\ \ (s+t=1)\ の拡張である. \\[.2zh] 係数の和が1のとき,\ \mathRM{平面では「点Pが直線AB上」,\ 空間では「点Pが平面ABC上」}となる. \\[.2zh] 詳細は後の問題で扱うので,\ ここでは軽い認識で十分である.