triangle-area

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放物線\ $y=x^2$\ 上の点Pと2点A$(0,\ -2)$,\ B$(3,\ 1)$を頂点とする$\triangle$ABP \\[.4zh] \hspace{.5zw}の面積$S$の最小値とそのときの点Pの座標を求めよ. \\ ベクトル分野では,作る面積として学習する. \\ 点Aが原点となるよう平行移動 点\mathRM{P}を文字で設定し,\ 座標平面上の三角形の面積の公式を適用する. \\ そのために,\ まず\bm{1点が原点となるように平行移動}しておく. \\ 常に\ \ より,\ 絶対値が外せる. 点と直線の距離の公式の利用}] \\[.5zh]    直線ABの方程式は  点Pと直線ABの距離$d$は \\[.2zh]    普通に\ (底辺)\times(高さ)\div2\ で三角形の面積を計算する方法である. \\ 高さを求めるために,\ 点と直線の距離の公式を利用する. \\ 一般的に,\ \bm{曲線と直線の距離を考えるとき,\ 点と直線の距離の公式が利用できる.} \\ 距離を求めるには有効だが,\ 三角形の面積を求めるとなると他の解法に劣る. \\ よって,\ 本問の場合,\ この解法にメリットはない. \\[.5zh] 絶対値は,\ 常に 本問の方法を一般化することで,\ 座標平面上の三角形の面積の公式が得られる. \\ 3点\mathRM{O(0,\ 0),\ A(x_1,\ y_1),\ B(x_2,\ y_2)}があるとする. \\[.3zh] 直線\mathRM{OA}の方程式は 点\mathRM{Bと直線OAの距離dは}接線の方程式の利用}] \\[.5zh]  直線ABの方程式は $\textcolor[named]{ForestGreen}{y=x-2}$  {\normalsize $[\textcolor{brown}{傾き\ 1}]$} \\[.5zh]  \textcolor{cyan}{点Pにおける$y=x^2\ の接線が直線\mathRM{AB}と平行となるとき,\ Sが最小となる.$} \\[.2zh]  $\triangle$ABPを点Aが原点となるよう平行移動して 放物線と直線の距離が最短となるのは,\ \bm{図形的には平行な直線が接する}ときだ. \\ 微分を用いてこのときの接点\mathRM{P}が求まる. \\ 点\mathRM{P}の座標を特定したいだけならば,\ 最も素早く行える. \\ 後は,\ 座標平面上の三角形の面積の公式を適用すればよい.