parallel-perpendicular

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2直線\ (基本形)}の位置関係平行条件}} (一致する場合も含む) \\[.2zh]    (一般形)}の位置関係}}}  $[3]$\ $\bm{\textcolor{blue}{点(x_1,\ y_1)を通り,\ ax+by+c=0に平行・垂直な直線の方程式}}  $[4]$\ \textbf{\textcolor{blue}{2直線の共有点と連立方程式の解の個数}} \\[.5zh]    \maru1 \textbf{\textcolor{cyan}{2直線が1点で交わる}}     \textbf{\textcolor{red}{ただ1組の解}} \\[.2zh]    \maru2 \textbf{\textcolor{cyan}{2直線が平行で一致しない}}   \textbf{\textcolor{red}{解なし}} \\[.2zh]    \maru3 \textbf{\textcolor{cyan}{2直線が一致する}}       \textbf{\textcolor{red}{無数の解}} \\\\\\ \text{[1]}\ 基本形の平行条件と一致条件は自明.\ \bm{垂直条件は要暗記.} \\ \bm{一般形は平行条件と垂直条件を暗記.} \\[1zh] \text{[2]}\ 基本形にすればよいから,\ 一般形の公式は必要ないと考えている人が多い. \\ しかし,\ 一般形で与えられた直線を基本形に変形するのは,\ 普通得策ではない. \\ x+ay=0のように文字を含む場合,\ 安易にy=-\bunsuu1axとできないからである. \\ 正しくは,\ 故に,\ \bm{一般形で与えられた場合,\ 基本形を経由せずに求めることが推奨される.} \\ それを可能にするのが,\ この公式なのである. \\ また,\ 一般形における条件は,\ \bm{ベクトル的観点}からとらえておくとよい. \\ 直線\ ax+by+c=0\ の法線ベクトルの成分は(a,\ b)である. \\ よって,\ それぞれの直線の法線ベクトルは,\ \bm{(a_1,\ b_1),\ (a_2,\ b_2)}\ である. \\ 直線が平行ならば,\ 法線ベクトルも平行であるはずである. \\ よって,\ \bm{a_1:b_1=a_2:b_2}\ より,\ \bm{「a_1b_2-b_1a_2=0」}が成立する. \\ また,\ 直線が垂直ならば,\ 法線ベクトルも垂直であるはずである. \\ よって,\ \bm{内積\ (a_1,\ b_1)\cdot(a_2,\ b_2)=0}\ より,\ \bm{「a_1a_2+b_1b_2=0」}が成立する. \\ なお,\ ベクトル分野では,\ 垂直条件を「a_1b_1+a_2b_2=0」と学習する. \\ 一見違って見えるのは,\ 初期設定が違うからである. \\ ベクトル分野の公式は,\ \bm{\bekutoru*a=(a_1,\ a_2),\ \bekutoru*b=(b_1,\ b_2)\ の垂直条件}である. \\ 公式を適用する際は,\ この\bm{2つを混同しないよう注意}が必要である. \\ 一致条件は,\ \bm{決して「a_1=b_1\ かつ\ a_2=b_2\ かつ\ a_3=b_3」ではない}ので注意! \\ 例えば,\ x+2y-3=0と2x+4y-6=0は同じ直線を表す. \\[1zh] \text{[3]}\ 使用する機会は少ないが,\ [2]と同様の理由で,\ 公式として覚えておきたい. \\ 丸暗記は難しいので,\ 式の意味も確認しておく. \\ 直線\bm{ax+by+c=0が原点を通るように平行移動}すると \bm{ax+by=0} \\ これが\bm{点(x_1,\ y_1)を通るよう平行移動}すると \bm{a(x-x_1)+b(y-y_1)=0} \\ \bm{法線ベクトル(a,\ b)に垂直なベクトルは(b,\ -a)}である.\ \ [\because\ a\cdot b+b\cdot(-a)=0] \\ よって,\ \bm{原点を通り,\ ax+by=0に垂直な直線}の方程式は \bm{bx-ay=0} \\ これが\bm{点(x_1,\ y_1)を通るよう平行移動}すると \bm{b(x-x_1)-a(y-y_1)=0} \\[1zh] \text{[4]}\ \bm{図形的な交点の個数は,\ 連立方程式の解の個数と一致する.} \\ 故に,\ 平行条件や一致条件は,\ 連立方程式の解の個数を考えるときにも絡んでくる. \\ 2直線の交点と連立1次方程式の解の対応関係は3通り考えられる. \\ いずれも,\ 図形的に考えると自明である. 直線$2x-y+6=0$に平行な直線と垂直な直線の方程 \\[.2zh]   平行な直線の方程式は  垂直な直線の傾きを$m$とする.   垂直な直線の方程式は 公式を用いて,\ 基本形を経由せずに求めるのが理想である. \\ しかし,\ かなり慣れていないと,\ 混乱し間違えるリスクもある. \\ 本問は,\ 文字を含まないから,\ 基本形にしてから求めても問題ない. \\ \bm{基本形から傾きを読み取り,\ 1点を通る直線の方程式}として求めればよい. \\ 点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の方程式は 2直線\ $ax+2y+3=0,\ \ 3x+(a-1)y+a=0$\ が次の条件を満たすとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}定数$a$の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ 2直線が垂直 \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ 2直線が平行(一致はしない) \\[.5zh] \hspace{.5zw} (3)\ 2直線が一致 \\ \phantom{ (1)}\  \ \textcolor{magenta}{\underline{\textcolor{black}{この2直線は一致しないから,\ 条件を満たす.} \phantom{ (1)}\  \ \textcolor{magenta}{\underline{\textcolor{black}{この2直線は一致するから,\ 条件を満たさない.}}} 文字を含み複雑であるため,\ 基本形を経由せずに求めるべきである. \\ 垂直条件は,\ 公式を適用するだけである. \\ 平行条件と一致条件は,\ \bm{まず平行条件(一致も含む)の公式を適用する.} \\ その後,\ \bm{求まった値を元の式に代入し,\ 一致するか否かを確認する.} \\