median-circumcenter

検索用コード
3点$\mathRM{A(1,\ 1),\ B(5,\ 2),\ C(2,\ 4)}について,\ 次を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ $\triangle$ABCの重心Gの座標    \ (2)\ $\triangle$ABCの外心Oの座標 \\ 重心Gの座標公式に代入するだけ 要するに,\ x座標とy座標を別々に,\ 3点の平均を求めればよい. \\ この公式は,\ 重心が\bm{「中点を2:1に内分する点」}であることから導かれる. \\ \mathRM{(BCの中点Dの座標)=\left(\bunsuu{x_2+x_3}{2},\ \bunsuu{y_2+y_3}{2}\right)} \\ \mathRM{(ADを2:1に内分する点のx座標)=\bunsuu{1\cdot x_1+2\cdot\bunsuu{x_2+x_3}{2}}{2+1}=\bunsuu{x_1+x_2+x_3}{3}} \\ これが重心のx座標であり,\ y座標も同様にして求められる. \\ 重心は,\ \bm{「3本の中線の交点」}でもあるが,\ それを利用して求めるのは面倒である. 外心の座標を 外心が\bm{「3頂点からの距離が等しい点」}であることを利用する. \\ つまり,\ \bm{\mathRM{OA=OB=OC}}\ である. \\ 実際には,\ 2点間の距離は根号がつくから,\ 最初から2乗した形で適用する. \\ \bm{\mathRM{OA^2=OB^2=OC^2}} (距離は常に正なので2乗しても同値) \\ 実際には,\ \bm{(等式の数)=(等号の数)}であるから,\ 次のように考えて計算する. \\ \bm{\mathRM{「OA^2=OB^2\ \ かつ\ \ OA^2=OC^2」}} (2変数で2等式なのでx,\ yが定まる) \\ もちろん,\ \mathRM{「OA^2=OB^2\ \ かつ\ \ OB^2=OC^2」}\ としてもよい. \\ 今回は,\ \mathRM{点Bの座標よりも簡単な点Aの座標を多く用いるほうで計算した.} \\ 一見面倒な計算に見えるが,\ x^2とy^2は消えるので意外に楽な計算になる. \\ 外心は,\ \bm{「3つの辺の垂直二等分線の交点」}としても得られるが面倒である.