重心・内心・外心・垂心のうち2つが一致する三角形は正三角形であることの証明

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jyuusin
重心と内心が一致する三角形は正三角形であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 重心と外心が一致する三角形は正三角形であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 重心と垂心が一致する三角形は正三角形であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ 内心と外心が一致する三角形は正三角形であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(5)\ \ 内心と垂心が一致する三角形は正三角形であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(6)\ \ 外心と垂心が一致する三角形は正三角形であることを示せ. \\ 重心・内心・外心・垂心と正三角形}}}} \\\\[.5zh]  正三角形ならば,\ 明らかに重心・内心・外心・垂心が一致する. \\[.2zh]  本項では,\ この逆を証明する. \\[.2zh]  つまり,\ \textbf{\textcolor{red}{「重心・内心・外心・垂心のうち,\ 2つが一致する三角形は正三角形」}}を証明する. \\\\[1zh]  (1)\ \ $\triangle$ABCの重心と内心が点Pで一致するとする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{頂点Aから辺BCへの中線と$\angle$Aの二等分線は2点A,\ Pを通るから,\ 同一直線}である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 直線APと辺BCの交点をDとする. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ ADは中線であるから $\mathRM{\textcolor{red}{BD=DC}}\ \ \cdots\cdots\,\maru1$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ADは$\angle$Aの二等分線であるから $\mathRM{\textcolor{red}{AB:AC=BD:DC}}\ \ \cdots\cdots\,\maru2$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \maru1,\ \maru2より $\mathRM{AB=AC}$    同様にして,\ $\mathRM{BA=BC}$も成立する. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{forestgreen}{\mathRM{AB=BC=CA}}$より,\ \textbf{$\bm{\triangle}$ABCは正三角形}である. 正三角形であることの証明なので,\ \mathRM{AB=BC=CAまたは\ \angle A=\angle B=\angle C}を示すことを目指す. \\[.2zh] 四心が以下のような点であることを用いてこれを示すことになる. \\[1zh] \bm{重心 「中線(頂点と対辺の中点を結ぶ線分)の交点」「中線を頂点から2:1に内分する点」} \\[.2zh] \bm{内心 「角の二等分線の交点」「\,3辺から等距離の点」} \\[.2zh] \bm{外心 「辺の垂直二等分線の交点」「\,3頂点から等距離の点」} \\[.2zh] \bm{垂心 「垂線の交点」} \\[1zh] \mathRM{D}が中点であることと\bm{角の二等分線と辺の比の関係}を利用すると,\ 容易に\mathRM{AB=AC}が導かれる. \\[.2zh] \mathRM{直線BPと辺ACの交点をEとして同様に考えると,\ BA=BCも導かれる.} $\triangle$ABCの重心と外心が点Pで一致するとし,\ 辺BCの中点をMとする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{頂点Aから辺BCへの中線と辺BCの垂直二等分線は,\ 2点M,\ Pを通る.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ この2直線は\textcolor{magenta}{同一直線}である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{\textcolor{red}{BM=MC}}$,\ \ $\mathRM{\textcolor{red}{\angle AMB=\angle AMC=90\Deg}}$,\ \ AM共通より $\mathRM{\textcolor{cyan}{\triangle AMB\equiv\triangle AMC}}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\mathRM{AB=AC  \ \ 同様にして,\ BA=BCも成立する.}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{\textcolor{forestgreen}{AB=BC=CA}}$より,\ \textbf{$\bm{\triangle}$ABCは正三角形}である. \\\\ (2),\ (3),\ (5),\ (6)は,\ 直角を利用して三角形の合同を証明するとよい. \\[.2zh] 2辺とその間の角がそれぞれ等しいから,\ \mathRM{\triangle AMBと\triangle AMC}は合同である. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  (3)\ \ $\triangle$ABCの重心と垂心が点Pで一致するとする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{頂点Aから辺BCへの中線と垂線は2点A,\ Pを通るから,\ 同一直線}である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 直線APと辺BCの交点をDとする. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ ADは中線であるから $\mathRM{\textcolor{red}{BD=DC}}\ \ \cdots\cdots\,\maru1$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ADは垂線であるから $\mathRM{\textcolor{red}{\angle BDA=\angle CDA=90\Deg}}\ \ \cdots\cdots\,\maru2$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \maru1,\ \maru2,\ AD共通より \ \ $\mathRM{\textcolor{cyan}{\triangle ADB\equiv\triangle ADC}}$  {\small $[\,\textcolor{brown}{2辺とその間の角がそれぞれ等しい}\,]$} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\mathRM{AB=AC  同様にして,\ BA=BCも成立する.}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{\textcolor{forestgreen}{AB=BC=CA}}$より,\ \textbf{$\bm{\triangle}$ABCは正三角形}である.  (4)\ \ $\triangle$ABCの内心と外心が点Pで一致するとする. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 点Pは外心であるから $\mathRM{\textcolor{red}{\angle PBC=\angle PCB}}$ $(\,\because\ \ \mathRM{PB=PC}\,)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 点Pは内心であるから $\mathRM{\textcolor{red}{\angle PBC=\bunsuu12\angle B,\ \ \angle PCB=\bunsuu12\angle C}}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\mathRM{\angle B=\angle C}$  \ \ 同様にして,\ $\mathRM{\angle A=\angle B}$も成立する. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{\textcolor{forestgreen}{\angle A=\angle B=\angle C}}$より,\ \textbf{$\bm{\triangle}$ABCは正三角形}である. \\\\ \mathRM{\angle Aの二等分線と辺BCの垂直二等分線に共通する点は,\ Pの1点のみである.} \\[.2zh] この場合,\ 2直線\mathRM{AP,\ PM}が一致する保証がなく,\ 右図のようになる可能性が捨てきれない. \\[.2zh] 三角形の合同を示そうとすると回りくどくなるので,\ \bm{角に着目して証明する}とよい. \\[1zh] 外心は3頂点からの距離が等しい点であるから,\ \bm{\triangle\mathRM{PBC}は二等辺三角形}である. \\[.2zh] 内心が\mathRM{\angle Bと\angle Cの二等分線の交点であることも利用すると,\ \angle B=\angle Cを示すことができる.}  (5)\ \ $\triangle$ABCの内心と垂心が点Pで一致するとする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{$\angle$Aの二等分線と頂点Aから辺BCに下ろした垂線は2点A,\ Pを通る.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ この2直線は\textcolor{magenta}{同一直線}である.\ 直線APと辺BCの交点をDとする. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ ADは$\angle$Aの二等分線であるから $\mathRM{\textcolor{red}{\angle BAD=\angle CAD}}\ \ \cdots\cdots\,\maru1$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ADは垂線であるから $\mathRM{\textcolor{red}{\angle ADB=\angle ADC=90\Deg}}\ \cdots\cdots\,\maru2$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \maru1,\ \maru2,\ AD共通より \ \ $\mathRM{\textcolor{cyan}{\triangle ADB\equiv\triangle ADC}}$  {\small $[\,\textcolor{brown}{1辺とその両端の角がそれぞれ等しい}\,]$} \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\mathRM{AB=AC  同様にして,\ BA=BCも成立する.}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{\textcolor{forestgreen}{AB=BC=CA}}$より,\ \textbf{$\bm{\triangle}$ABCは正三角形}である.  (6)\ \ $\triangle$ABCの外心と垂心が点Pで一致するとし,\ 辺BCの中点をMとする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{辺BCの垂直二等分線と頂点Aから辺BCに下ろした垂線は,\ 平行で1点Pを通る.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ この2直線は\textcolor{magenta}{同一直線}である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{\textcolor{red}{BM=MC}}$,\ \ $\mathRM{\textcolor{red}{\angle AMB=\angle AMC=90\Deg}}$,\ \ AM共通より $\mathRM{\textcolor{cyan}{\triangle AMB\equiv\triangle AMC}}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $\mathRM{AB=AC  \ \ 同様にして,\ BA=BCも成立する.}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\mathRM{\textcolor{forestgreen}{AB=BC=CA}}$より,\ \textbf{$\bm{\triangle}$ABCは正三角形}である. \\\\
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