チェバの定理とメネラウスの定理の基本問題演習

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nitoubunsen-hennohi
チェバの定理の構図だが,\ 3辺\mathRM{AB,\ BC,\ CA}のうち2辺の線分比が不明なので適用する意味がない. \\[.2zh] そこで,\ メネラウスの定理が適用できる三角形と1直線を探す. \\[.2zh] 与えられている線分比は\mathRM{AR:RB,\ CO:OR,\ 求める線分比は\ CQ:QA}である. \\[.2zh] よって,\ \bm{\triangle\mathRM{ACR}を直線\mathRM{BQ}が分割しているとみなしてメネラウスの定理を適用}するとよい. \\[.2zh] このとき,\ 点\mathRM{R}が頂点,\ 点\mathRM{B}は外分点の扱いになることに注意する. \\[.2zh] メネラウスの定理で\mathRM{CQ:QA}が求まれば,\ チェバの定理で\mathRM{BP:PC}を求められる. \\[.2zh] \bm{どの三角形に着目して定理を適用するかが重要}というわけである. \bm{\triangle\mathRM{BRC}を直線\mathRM{AP}が分割するとみなす}と先に\mathRM{BP:PC}\ を求めることができる. \\[.2zh] その後,\ チェバの定理で\ \mathRM{CQ:QA}\ を求めればよい. \mathRM{BO:OQ,\ AP:PO}は,\ メネラウスの定理で求められる. \\[1zh] \mathRM{BP:PCは,\ BO:OQが既知ならば,\ メネラウスの定理で求めることができる.} \\[.2zh] しかし,\ 実は,\ チェバの定理で一発である.\ 元々,\ 本問は\bm{チェバの定理の第2の構図}である. \\[.2zh] チェバの定理は,\,\bm{3直線\mathRM{AP,\ BQ,\ CR}の交点\mathRM{O}が三角形の外部にある場合も成り立つ}のであった. 右図のように\ \bm{\triangle\mathRM{PQR}\ の周りを3つの三角形に分割する}方法が簡潔である. \\[1zh] まず,\ \triangle \mathRM{ABE}を直線\mathRM{CD}が分割するとみなしてメネラウスの定理を適用し,\ \mathRM{ER:RA}を求める. \\[.2zh] 三角形の面積比を求めるときは全体または小さいかけらをSとおくとわかりやすい. \\[.2zh] 本問では\,\triangle\mathRM{ABC}が基準となるので全体をSとした. \\[.2zh] 『底辺が同じなら高さの比,\ 高さが同じなら底辺の比』を利用すると\ \triangle\mathRM{ARC}の面積をSで表せる. \\[.4zh]
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