チェバの定理とメネラウスの定理

ceva-menelaus
数式を丸暗記しても意味はない.\ 実際,\ 式自体はチェバもメネラウスも同じである. 図形的に理解しよう.\ まず,\ チェバは1点,\ メネラウスは1直線で三角形が分割される構図である. このとき,\ {頂点\ →\ 分点\ →\ 頂点\ →\ 分点\ →\ 頂点\ →\ 分点\ →\ 頂点}の順で1周}する. 上では頂点{A}から出発したが,\ どの頂点から出発するかは自由である. メネラウスの定理の図では,\ {頂点{Bの次は外分点P,\ その次は頂点Cである. %{AR BP CQ=RB PC QA}とみることもできる. %つまり,\ 1つ飛ばしに比を掛けたものが等しいわけである. チェバはわかりやすいが,\ メネラウスの定理の適用は慣れを要する. メネラウスの定理は右図のキツネに適用すると考えておくとよい. 一見するとチェバの定理の構図だが,\ 与えられた比だけでは適用する意味がない. そこでメネラウスの定理が適用できる三角形を探す. 与えられているのは{AR:RB,\ CO:OR,\ 求めるのは\ CQ:QA}である. よって,\ ACR}を直線{BQ}が分割するとみなしてメネラウスの定理を適用}するとよい. このとき,\ 点{R}が頂点,\ 点{B}は外分点の扱いになることに注意する. メネラウスの定理で{CQ:QA}が求まれば,\ チェバの定理で{BP:PC}を求められる. このように,\ {どの三角形に着目して定理を適用するかが問われる}わけである. BRC}を直線{AP}が分割するとみなす}と先に{BP:PC}\ を求めることができる. その後,\ チェバの定理で\ {CQ:QA}\ を求めればよい. 右図のように\ PQR}\ の周りを3つの三角形に分割する}方法が簡潔である. まず,\ {ABE}を直線{CD}が分割するとみなしてメネラウスの定理を適用し,\ {ER:RA}を求める. 三角形の面積比を求めるときは全体または小さいかけらをSとおくとわかりやすい. 本問では{ABC}が基準となるので全体をSとした. 『底辺が同じなら高さの比,\ 高さが同じなら底辺の比』を利用すると\ {ARC}の面積をSで表せる. { ARC=67 AEC=6713 ABC=27 ABC}=27S\ としてもよい. 与えられた比を考慮すると,\ { APBと BQCも結局}\ 27S\ であり,\ {PQR}\ が求められる.
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